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 平角應(yīng)用四例

徐金星

  1. 延長(zhǎng)線(xiàn)段構(gòu)造平角

    例1  如圖1，AB//CD。求證：

    證明：延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F

    因?yàn)锳B//CD          所以C=CFA

  2. 過(guò)某點(diǎn)作直線(xiàn)構(gòu)造平角

    例2  如圖2，已知，求證：。

    證明：過(guò)點(diǎn)A作DE//BC，則

  3. 過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作射線(xiàn)構(gòu)造平角

    例3  如圖3，已知，求證：

    證明：在BC上取一點(diǎn)D（點(diǎn)D不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)D分別作DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F

    因?yàn)镈E//AC

    所以1=C，2=4

    因?yàn)镈F//AB          所以4=A

    所以2=A

  4. 反向延長(zhǎng)射線(xiàn)構(gòu)造平角

    例4  如圖4，，OD為BOC的平分線(xiàn)，OE為BO的延長(zhǎng)線(xiàn)。

    求證：COE=2AOB。

    證明：反向延長(zhǎng)射線(xiàn)AO得射線(xiàn)OF

    因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/平角應(yīng)用四例%20專(zhuān)題輔導(dǎo)%20不分版本.files/image005.gif" >AOD為直角，AOF為平角

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 平行線(xiàn)判定和性質(zhì)結(jié)論識(shí)辨

任靜芳

    學(xué)習(xí)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)時(shí)，對(duì)于如圖1所示的直線(xiàn)a、b被直線(xiàn)c所截的情況，由∠1＝∠2得a∥b或者由a∥b得∠2＝∠3（或∠2＋∠4＝180°）很容易接受，但在較復(fù)雜圖形中，則往往弄不清由條件能得出什么結(jié)論。

    問(wèn)題1：如圖2，由∠1＝∠2能得AB∥CD還是AD∥BC？

    問(wèn)題2：如圖2，由AB∥CD能得∠1＝∠2還是∠3＝∠4？

    解析：?jiǎn)栴}1：（1）首先找出已知條件的兩個(gè)角：∠1、∠2。

    （2）其次找出它們的邊，劃掉公共邊（或處在一條直線(xiàn)上的兩邊）：

    ∠1的邊    DA，DB

    ∠2的邊    BD，BC

    （3）其余兩邊便是由∠1＝∠2推得的兩條平行直線(xiàn)。

    即∵∠1＝∠2（已知）

    ∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）

    問(wèn)題2：由AB∥CD首先找出AB、CD被哪條直線(xiàn)所截能得到∠1、∠2、∠3、∠4，可以看出這條直線(xiàn)是BD；其次由AB與BD得到∠4而不是∠2，由CD與BD得到∠3而不是∠1。即因?yàn)锳B∥CD，所以∠3＝∠4（而不是∠1＝∠2）。

    評(píng)注：產(chǎn)生上面兩個(gè)問(wèn)題的原因還是“三線(xiàn)八角”的遺留問(wèn)題，即找出構(gòu)成“八角”的“三線(xiàn)”中的截線(xiàn)是哪條直線(xiàn)，就不難找出所需要的角。

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 平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的應(yīng)用

黃細(xì)把

    平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及其有關(guān)推論，除了證明線(xiàn)段成比例和等積外，還可以證明其他一些線(xiàn)段問(wèn)題。請(qǐng)看如下例題：

  例1. 如圖1，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，E為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且。

    求證：AD＝EB

    證明：過(guò)D作DG∥AB交BC于G

    ∵DG∥AB，F(xiàn)B∥DG

  例2. 如圖2，△ABC中，D、F在AB上，且AD＝BF，DE∥BC交AC于E，F(xiàn)G∥BC交AC于G。

    求證：DE＋FG＝BC

    證明：∵DE∥BC，F(xiàn)G∥BC

  例3. 如圖3，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M為AD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于K。

    求證：AB＝3AK

    證明：過(guò)B作BG∥KM交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于G

    于D

    ∴BD＝CD，MD＝GD

    ∵AD＝2AM

  例4. 如圖4，△ABC中，D為BC上任一點(diǎn)，BE∥AD交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于E，CF∥AD交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于F。

    求證：

    證明：∵AD∥BE，AD∥CF

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 巧用方程組的解的意義解題

吳健

    已知關(guān)于x、y的方程組和，有相同的解，求a、b的值。

    分析：既然兩個(gè)方程組的解相同，那么方程與的解也應(yīng)該相同；由這兩個(gè)方程可求得x、y的值，然后再代入中，解關(guān)于a、b的二元一次方程組，便可求得a、b的值。

    解：由于有相同的解，所以該相同的解應(yīng)是方程組   （1）與     （2）的解，解方程組（1）得，然后把代入方程組（2），得，解得。故a、b的值分別是2和1。

    同學(xué)們仿此例可利用方程組的解的意義解以下幾題：

  1. 已知關(guān)于x、y的方程組和的解相同，求a、b的值。

    （答案：）

  2. 若方程組與方程組的解相同。則的值是多少？？

    （答案：1）

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 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積

張現(xiàn)立

    對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的積的一半。下面我們證明這個(gè)結(jié)論。

    已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)于E，如圖1。

    求證：

圖1

    證明：在四邊形ABCD中，于E

    所以

    對(duì)于對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積求解問(wèn)題，這是一個(gè)十分方便的公式。

  例1. 菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于O，的周長(zhǎng)為，求菱形ABCD的面積。（如圖2）

圖2

    解：在菱形ABCD中，

    因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積%20專(zhuān)題指導(dǎo).files/image018.gif" >，所以

    設(shè)，則

    所以

    解得

    所以

    所以

    所以

  例2. 等腰梯形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，垂足為O，梯形的高為a，求梯形ABCD的面積。

    解：設(shè)梯形ABCD的腰為AB、CD，則，，BC＝CB（如圖3）

圖3

    所以

    所以

    又因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積%20專(zhuān)題指導(dǎo).files/image002.gif" >于O，所以在中，

    過(guò)點(diǎn)D作于E，則為等腰直角三角形，故

    所以

  例3. 如圖4，已知：在中，BD和CE分別是兩邊上的中線(xiàn)，并且，求的面積。

圖4

    解：連結(jié)DE，則四邊形BCDE的面積為

    又因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積%20專(zhuān)題指導(dǎo).files/image067.gif" >

    所以

  例4. 如圖5，已知：在邊長(zhǎng)為4cm的正方形ABCD中，取CD的中點(diǎn)E，G在BC上，F(xiàn)在AD上，，求四邊形AGEF的面積。

圖5

    解：在中，

    所以

    過(guò)G點(diǎn)作，垂足為H

    因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積%20專(zhuān)題指導(dǎo).files/image071.gif" >，所以

    從而

    又因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積%20專(zhuān)題指導(dǎo).files/image088.gif" >

    所以

    所以

    故

  例5. 已知梯形ABCD中，，如圖6，求。

圖6

    解：過(guò)D作DE//AC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，所以四邊形ADEC是平行四邊形。

    所以

    因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積%20專(zhuān)題指導(dǎo).files/image103.gif" >

    所以

    所以

    又因?yàn)镈E//AC，所以

    所以

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 定義的應(yīng)用

楊志彬

    數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)往往容易被忽略，其實(shí)數(shù)學(xué)概念是極其重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些概念的定義本身就可以解決一些問(wèn)題，下面舉例說(shuō)明。

    1. 若單項(xiàng)式與是同類(lèi)項(xiàng)，則=____________。

    2. 若b<0，化簡(jiǎn)。

    3. 若最簡(jiǎn)根式是同類(lèi)二次根式，則m，n的值為_(kāi)_____。

    4. 若，則關(guān)于x的二次方程，必有一根等于_________；若，情況又如何？

    5. 設(shè)反比例函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，求n的值和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

    6. 下列圖象所表示的y與x間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的有_________。

    提示：

    1. 用同類(lèi)項(xiàng)定義。答案：。

    2. 考察根式的定義。答案：。

    3. 考察最簡(jiǎn)二次根式的定義。答案：6，8。

    4. 考察方程根的定義。答案：1；。

    5. 用反比例函數(shù)定義。

    答案：

    6. 用函數(shù)的定義。答案（B）、（C）。

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 完全平方公式變形的應(yīng)用

  姜峰

    完全平方公式是多項(xiàng)式乘法中非常重要的一個(gè)公式。掌握其變形特點(diǎn)并靈活運(yùn)用，可以巧妙地解決很多問(wèn)題。

   一. 完全平方公式常見(jiàn)的變形有

    a²+b²=（a+b）²-2ab，

    a²+b²=（a-b）²+2ab，

    （a+b）²-（a-b）²=4ab，

     a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）

  二. 乘法公式變形的應(yīng)用

    例1： 已知：x²+y²+4x-6y+13=0，x、y均為有理數(shù)，求x^y的值。

    分析：逆用完全乘方公式，將

    x²+y²+4x-6y+13化為兩個(gè)完全平方式的和，利用完全平方式的非負(fù)性求出x與y的值即可。

    解：∵x²+y²+4x-6y+13=0，

    （x²+4x+4）+（y²-6y+9）=0，

    即（x+2）²+（y-3）²=0。

    ∴x+2=0，y=3=0。

    即x=-2，y=3。

    ∴x^y=（-2）³=-8。

    分析：本題巧妙地利用

    例3 已知：a+b=8，ab=16+c²，求（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    分析：由已知條件無(wú)法直接求得（a-b+c）²⁰⁰²的值，可利用（a-b）²=（a+b）²-4ab確定a-b與c的關(guān)系，再計(jì)算（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    解：（a-b）²=（a+b）²-4ab=8²-4（16+c²）=-4c²。

    即：（a-b）²+4c²=0。

    ∴a-b=0，c=0。

    ∴（a-b+c）²⁰⁰²=0。

    例4 已知：a、b、c、d為正有理數(shù)，且滿(mǎn)足a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd。

    求證：a=b=c=d。

    分析：從a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd的特點(diǎn)看出可以化成完全平方形式，再尋找證明思路。

    證明：∵a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd，

    ∴a⁴-2a²b²+b⁴+c⁴-2c²d²+d⁴+2a²b²-4abcd+2c²d²=0，

    （a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0。

     a²-b²=0，c²-d²=0，ab-cd=0

    又∵a、b、c、d為正有理數(shù)，

    ∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，

    得a²=c²，即a=c。

    所以有a=b=c=d。

    練習(xí)：

    1. 已知：x²+3x+1=0。

    2. 已知x，y，z滿(mǎn)足條件

    求：（1）x²+y²+z²

    （2）x⁴+y⁴+z⁴的值

    3. 已知：x=a²+b²，y=c²+d²。

    求證：x，y可表示成平方和的形式。

    4. 已知：ad-bc=1

    求證：a²+b²+c²+d²+ad+cd≠1。  

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 學(xué)好與用好冪的法則

于 波

（接上期）

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 學(xué)習(xí)有理數(shù)加減三注意

盧守銀

    有理數(shù)的加減是初一代數(shù)的一個(gè)難點(diǎn)。學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：

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 如何學(xué)好絕對(duì)值

朱永年

    絕對(duì)值是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，學(xué)好它非常重要。要學(xué)好絕對(duì)值，除了熟練掌握正負(fù)數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)外，還應(yīng)掌握絕對(duì)值的幾何意義，具體來(lái)說(shuō)要注意以下幾點(diǎn)。

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