問題提出

我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．

問題解決

如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大?。?/p>

解：由圖可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．

∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．

∵a≠b，∴(a－b)²＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

類比應(yīng)用

1.已知：多項式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．試比較M與N的大?。?/p>

2.已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊

滿足a ＜b ＜ c ，現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長方形，使得△ABC的兩個頂

點(diǎn)為長方形的兩個端點(diǎn)，第三個頂點(diǎn)落在長方形的這一邊的對邊上。                     

     ①這樣的長方形可以畫       個；

②所畫的長方形中哪個周長最??？為什么？

拓展延伸                                                                                                                               

     已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點(diǎn)在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形，問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大？為什么？

問題提出
我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．
問題解決
如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大?。?br />
解：由圖可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．
∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．
∵a≠b，∴(a－b)²＞0．
∴M－N＞0．
∴M＞N．
類比應(yīng)用
【小題1】已知：多項式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a．試比較M與N的大小．
【小題2】已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊
滿足a ＜b ＜ c ，現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長方形，使得△ABC的兩個頂
點(diǎn)為長方形的兩個端點(diǎn)，第三個頂點(diǎn)落在長方形的這一邊的對邊上。                     
①這樣的長方形可以畫       個；
②所畫的長方形中哪個周長最??？為什么？

拓展延伸                                                                                               
已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點(diǎn)在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形，問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大？為什么？

問題提出：以n邊形的n個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共(m＋n)個點(diǎn)作為頂
點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？
問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊化的策略，先從簡單和具體的情形入手：
探究一：以△ABC的3個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個點(diǎn)P，共4個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個互
不重疊的小三角形？如圖①，顯然，此時可把△ABC分割成3個互不重疊的小三角形．
探究二：以△ABC的3個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個點(diǎn)P、Q，共5個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個
互不重疊的小三角形？
在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會有兩種
情況：
一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個小三角形內(nèi)部．不妨設(shè)點(diǎn)Q在△PAC的內(nèi)部，如圖②；
另一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上．不妨設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖③．
顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個互不重疊的小三角形．
探究三：以△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個點(diǎn)P、Q、R，共6個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成     個
互不重疊的小三角形，并在圖④中畫出一種分割示意圖．
探究四：以△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共(m＋3)個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成       個
互不重疊的小三角形．
探究拓展：以四邊形的4個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共(m＋4)個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把四邊形分割成
       個互不重疊的小三角形．
問題解決：以n邊形的n個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共(m＋n)個點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成
       個互不重疊的小三角形．
實際應(yīng)用：以八邊形的8個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2012個點(diǎn)，共2020個頂點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個互
不重疊的小三角形？(要求列式計算)

問題提出：以n邊形的n個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共(m＋n)個點(diǎn)作為頂

點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？

問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊化的策略，先從簡單和具體的情形入手：

探究一：以△ABC的3個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個點(diǎn)P，共4個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個互

不重疊的小三角形？如圖①，顯然，此時可把△ABC分割成3個互不重疊的小三角形．

探究二：以△ABC的3個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個點(diǎn)P、Q，共5個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個

互不重疊的小三角形？

在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會有兩種

情況：

一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個小三角形內(nèi)部．不妨設(shè)點(diǎn)Q在△PAC的內(nèi)部，如圖②；

另一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上．不妨設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖③．

顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個互不重疊的小三角形．

探究三：以△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個點(diǎn)P、Q、R，共6個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成      個

互不重疊的小三角形，并在圖④中畫出一種分割示意圖．

探究四：以△ABC的三個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共(m＋3)個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成        個

互不重疊的小三角形．

探究拓展：以四邊形的4個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共(m＋4)個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把四邊形分割成

        個互不重疊的小三角形．

問題解決：以n邊形的n個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個點(diǎn)，共(m＋n)個點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成

        個互不重疊的小三角形．

實際應(yīng)用：以八邊形的8個頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2012個點(diǎn)，共2020個頂點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個互

不重疊的小三角形？(要求列式計算)

問題提出

我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．

問題解決

如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大?。?/p>

解：由圖可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．

∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．

∵a≠b，∴(a－b)²＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

類比應(yīng)用

1.已知：多項式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．試比較M與N的大?。?/p>

2.已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊

滿足a ＜b ＜ c ，現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長方形，使得△ABC的兩個頂

點(diǎn)為長方形的兩個端點(diǎn)，第三個頂點(diǎn)落在長方形的這一邊的對邊上。                     

      ①這樣的長方形可以畫        個；

②所畫的長方形中哪個周長最?。繛槭裁?？

拓展延伸                                                                                                                               

     已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點(diǎn)在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形，問哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大？為什么？

問題提出：如圖①，將一張直角三角形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，這時為折痕，為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿的對稱軸折疊，這時得到了兩個完全重合的矩形（其中一個是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形），我們稱這樣兩個矩形為“疊加矩形”.

知識運(yùn)用：

（1）如圖②，正方形網(wǎng)格中的能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請在圖②中畫出折痕；

（2）如圖③，在正方形網(wǎng)格中，以給定的為一邊，畫出一個斜三角形，使其頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且折成的“疊加矩形”為正方形；

（3）若一個銳角三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是什么？結(jié)合圖③，說明理由。

拓展應(yīng)用：

（4）如果一個四邊形一定能折成"疊加矩形",那么它必須滿足的條件是什么？

問題提出：如何把一個三角形分割成n（n≥9）個小正三角形？
為解決上面問題，我們先來研究兩種簡單的“基本分割法”．
基本分割法1：如圖①，把一個正三角形分割成4個小正三角形，即在原來1個正三角形的基礎(chǔ)上增加了3個正三角形．
基本分割法2：如圖②，把一個正三角形分割成6個小正三角形，即在原來1個正三角形的基礎(chǔ)上增加了5個正三角形．

問題解決：有了上述兩種“基本分割法”后，我們就可以把一個正三角形分割成n（n≥9）個小正三角形．
（1）把一個正三角形分割成9個小正三角形．
①請你在基本分割法1基礎(chǔ)上把答題卷上圖③的正三角形分割成9個正三角形；
②請你在基本分割法2基礎(chǔ)上把答題卷上圖④的正三角形分割成9個正三角形；
（2）把答題卷上圖⑤的正三角形分割成10個小正三角形．
（3）請你參照上述分割方法，把答題卷上圖⑥給出的正三角形分割成11個小正三角形
注意：本題以上所有解答，用鋼筆或圓珠筆畫出草圖即可，不用說明分割方法．
（4）請你簡要敘述把一個正三角形分割成n（n≥9）個小正三角形的方法．

問題提出：如何把一個等邊三角形分割成n個（n≥9）個小等邊三角形．
解決問題：
（1）把一個等邊三角形分割成4個小等邊三角形，這個步驟我們稱為基本分割法1，請在圖a中畫出草圖．
（2）把一個等邊三角形分割成6個小等邊三角形，這個步驟我們稱為基本分割法2，請在圖b中畫出草圖．
（3）分別把圖c、圖d和圖e的等邊三角形分割成9個、10個和11個小等邊三角形．
問題解決：
（4）請你寫出把一個等邊三角形分割成n個（n≥9）個小等邊三角形的分割方法（只寫出分割方法，不用畫圖）．

問題提出
我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M-N，若M-N＞0，則M＞N；若M-N=0，則M=N；若M-N＜0，則M＜N．
問題解決
如圖1，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大?。?br/>解：由圖可知：M=a²+b²，N=2ab．
∴M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²．
∵a≠b，∴（a-b）²＞0．
∴M-N＞0．
∴M＞N．
類比應(yīng)用
（1）已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為元/千克和元/千克（a、b是正數(shù)，且a≠b），試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低．
（2）試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M₁、N₁的大小（b＞c）．

聯(lián)系拓廣
小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，這個箱子的尺寸如圖4所示（其中b＞a＞c＞0），售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進(jìn)行捆綁，問哪種方法用繩最短？哪種方法用繩最長？請說明理由．