若已知兩點之間的所有連線中，線段最短，請嘗試解決下面的問題

問題：（1）已知正方形的頂點處有一只蜘蛛，處有一只小蟲，如圖所示，請你找出由到的最短路徑，并在右側空白處畫出示意圖.

問題：（2）已知在圓錐底面圓上點處有一只蜘蛛，它繞圓錐的側面一周再次回到點處，請你畫出最短路徑示意圖.并畫出距離頂點最近時的點的位置.

問題：（3）某同學的茶杯是圓柱形，旁邊還緊挨著一個正方體盒子，如圖是茶杯和盒子的立體圖，茶杯與盒子一樣高.在圓柱側面中間處有一只螞蟻，他發(fā)現(xiàn)正方體一條棱的中點處有食物，但考慮獨自又搬不動，于是先到處叫同伙，再直接爬行到處搬食物.如果螞蟻爬行路線從最短，請用平面展開圖畫出這條最短路線圖.

如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2

3

．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導三角形內切圓的半徑公式r=

2S

l

（其中l(wèi)是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內切圓的圓心O為頂點，將三角形ABC分割成三個小三角形：△OAB，△OAC，△OBC．
②設△ABC三邊長分別為a，b，c．由S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB，
得S=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=

1

2

lr，則r=

2S

l

．
類比上述方法，請給出四面體內切球半徑的計算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內切球的半徑．

（1）A、B、C是三個完全相同的時鐘，A放在地面上，B、C分別放在兩個高速運動的火箭上，B、C兩火箭朝同一方向飛行，速度分別為v_B、v_C，v_B＜v_C．地面上觀察者認為三個時鐘中走得最慢的是______；走得最快的是______．
（2）如圖所示是一列沿x軸向右傳播的簡諧橫波在t=0時刻的波形圖，已知波的傳播速度v=2m/s．則波的周期為______，圖中質點P的振動方向向______（填“上“、“下“、“左“或“右“）．
（3）在桌面上有一倒立的玻璃圓錐，其頂點恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，過軸線的截面為等邊三角形，如圖所示．有一半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的地面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率為1.5，則光束在桌面上形成的光斑半徑為______．

第八部分 靜電場

第一講 基本知識介紹

在奧賽考綱中，靜電學知識點數(shù)目不算多，總數(shù)和高考考綱基本相同，但在個別知識點上，奧賽的要求顯然更加深化了：如非勻強電場中電勢的計算、電容器的連接和靜電能計算、電介質的極化等。在處理物理問題的方法上，對無限分割和疊加原理提出了更高的要求。

如果把靜電場的問題分為兩部分，那就是電場本身的問題、和對場中帶電體的研究，高考考綱比較注重第二部分中帶電粒子的運動問題，而奧賽考綱更注重第一部分和第二部分中的靜態(tài)問題。也就是說，奧賽關注的是電場中更本質的內容，關注的是縱向的深化和而非橫向的綜合。

一、電場強度

1、實驗定律

a、庫侖定律

內容；

條件：⑴點電荷，⑵真空，⑶點電荷靜止或相對靜止。事實上，條件⑴和⑵均不能視為對庫侖定律的限制，因為疊加原理可以將點電荷之間的靜電力應用到一般帶電體，非真空介質可以通過介電常數(shù)將k進行修正（如果介質分布是均勻和“充分寬廣”的，一般認為k′= k /ε_r）。只有條件⑶，它才是靜電學的基本前提和出發(fā)點（但這一點又是常常被忽視和被不恰當?shù)亍熬C合應用”的）。

b、電荷守恒定律

c、疊加原理

2、電場強度

a、電場強度的定義

電場的概念；試探電荷（檢驗電荷）；定義意味著一種適用于任何電場的對電場的檢測手段；電場線是抽象而直觀地描述電場有效工具（電場線的基本屬性）。

b、不同電場中場強的計算

決定電場強弱的因素有兩個：場源（帶電量和帶電體的形狀）和空間位置。這可以從不同電場的場強決定式看出——

⑴點電荷：E = k

結合點電荷的場強和疊加原理，我們可以求出任何電場的場強，如——

⑵均勻帶電環(huán)，垂直環(huán)面軸線上的某點P：E = ，其中r和R的意義見圖7-1。

⑶均勻帶電球殼

內部：E_內 = 0

外部：E_外 = k ，其中r指考察點到球心的距離

如果球殼是有厚度的的（內徑R₁ 、外徑R₂），在殼體中（R₁＜r＜R₂）：

E =  ，其中ρ為電荷體密度。這個式子的物理意義可以參照萬有引力定律當中（條件部分）的“剝皮法則”理解〔即為圖7-2中虛線以內部分的總電量…〕。

⑷無限長均勻帶電直線（電荷線密度為λ）：E = 

⑸無限大均勻帶電平面（電荷面密度為σ）：E = 2πkσ

二、電勢

1、電勢：把一電荷從P點移到參考點P₀時電場力所做的功W與該電荷電量q的比值，即

U = 

參考點即電勢為零的點，通常取無窮遠或大地為參考點。

和場強一樣，電勢是屬于場本身的物理量。W則為電荷的電勢能。

2、典型電場的電勢

a、點電荷

以無窮遠為參考點，U = k

b、均勻帶電球殼

以無窮遠為參考點，U_外 = k ，U_內 = k

3、電勢的疊加

由于電勢的是標量，所以電勢的疊加服從代數(shù)加法。很顯然，有了點電荷電勢的表達式和疊加原理，我們可以求出任何電場的電勢分布。

4、電場力對電荷做功

W_AB = q（U_A － U_B）= qU_AB 

三、靜電場中的導體

靜電感應→靜電平衡（狹義和廣義）→靜電屏蔽

1、靜電平衡的特征可以總結為以下三層含義——

a、導體內部的合場強為零；表面的合場強不為零且一般各處不等，表面的合場強方向總是垂直導體表面。

b、導體是等勢體，表面是等勢面。

c、導體內部沒有凈電荷；孤立導體的凈電荷在表面的分布情況取決于導體表面的曲率。

2、靜電屏蔽

導體殼（網罩）不接地時，可以實現(xiàn)外部對內部的屏蔽，但不能實現(xiàn)內部對外部的屏蔽；導體殼（網罩）接地后，既可實現(xiàn)外部對內部的屏蔽，也可實現(xiàn)內部對外部的屏蔽。

四、電容

1、電容器

孤立導體電容器→一般電容器

2、電容

a、定義式 C = 

b、決定式。決定電容器電容的因素是：導體的形狀和位置關系、絕緣介質的種類，所以不同電容器有不同的電容

⑴平行板電容器 C =  =  ，其中ε為絕對介電常數(shù)（真空中ε₀ =  ，其它介質中ε= ），ε_r則為相對介電常數(shù)，ε_r =  。

⑵柱形電容器：C = 

⑶球形電容器：C = 

3、電容器的連接

a、串聯(lián)  = +++ … +

b、并聯(lián) C = C₁ + C₂ + C₃ + … + C_n 

4、電容器的能量

用圖7-3表征電容器的充電過程，“搬運”電荷做功W就是圖中陰影的面積，這也就是電容器的儲能E ，所以

E = q₀U₀ = C = 

電場的能量。電容器儲存的能量究竟是屬于電荷還是屬于電場？正確答案是后者，因此，我們可以將電容器的能量用場強E表示。

對平行板電容器 E_總 = E² 

認為電場能均勻分布在電場中，則單位體積的電場儲能 w = E² 。而且，這以結論適用于非勻強電場。

五、電介質的極化

1、電介質的極化

a、電介質分為兩類：無極分子和有極分子，前者是指在沒有外電場時每個分子的正、負電荷“重心”彼此重合（如氣態(tài)的H₂ 、O₂ 、N₂和CO₂），后者則反之（如氣態(tài)的H₂O 、SO₂和液態(tài)的水硝基笨）

b、電介質的極化：當介質中存在外電場時，無極分子會變?yōu)橛袠O分子，有極分子會由原來的雜亂排列變成規(guī)則排列，如圖7-4所示。

2、束縛電荷、自由電荷、極化電荷與宏觀過剩電荷

a、束縛電荷與自由電荷：在圖7-4中，電介質左右兩端分別顯現(xiàn)負電和正電，但這些電荷并不能自由移動，因此稱為束縛電荷，除了電介質，導體中的原子核和內層電子也是束縛電荷；反之，能夠自由移動的電荷稱為自由電荷。事實上，導體中存在束縛電荷與自由電荷，絕緣體中也存在束縛電荷和自由電荷，只是它們的比例差異較大而已。

b、極化電荷是更嚴格意義上的束縛電荷，就是指圖7-4中電介質兩端顯現(xiàn)的電荷。而宏觀過剩電荷是相對極化電荷來說的，它是指可以自由移動的凈電荷。宏觀過剩電荷與極化電荷的重要區(qū)別是：前者能夠用來沖放電，也能用儀表測量，但后者卻不能。

第二講 重要模型與專題

一、場強和電場力

【物理情形1】試證明：均勻帶電球殼內部任意一點的場強均為零。

【模型分析】這是一個疊加原理應用的基本事例。

如圖7-5所示，在球殼內取一點P ，以P為頂點做兩個對頂?shù)?、頂角很小的錐體，錐體與球面相交得到球面上的兩個面元ΔS₁和ΔS₂ ，設球面的電荷面密度為σ，則這兩個面元在P點激發(fā)的場強分別為

ΔE₁ = k

ΔE₂ = k

為了弄清ΔE₁和ΔE₂的大小關系，引進錐體頂部的立體角ΔΩ ，顯然

 = ΔΩ = 

所以 ΔE₁ = k ，ΔE₂ = k ，即：ΔE₁ = ΔE₂ ，而它們的方向是相反的，故在P點激發(fā)的合場強為零。

同理，其它各個相對的面元ΔS₃和ΔS₄ 、ΔS₅和ΔS₆ … 激發(fā)的合場強均為零。原命題得證。

【模型變換】半徑為R的均勻帶電球面，電荷的面密度為σ，試求球心處的電場強度。

【解析】如圖7-6所示，在球面上的P處取一極小的面元ΔS ，它在球心O點激發(fā)的場強大小為

ΔE = k ，方向由P指向O點。

無窮多個這樣的面元激發(fā)的場強大小和ΔS激發(fā)的完全相同，但方向各不相同，它們矢量合成的效果怎樣呢？這里我們要大膽地預見——由于由于在x方向、y方向上的對稱性，Σ = Σ = 0 ，最后的ΣE = ΣE_z ，所以先求

ΔE_z = ΔEcosθ= k ，而且ΔScosθ為面元在xoy平面的投影，設為ΔS′

所以 ΣE_z = ΣΔS′

而 ΣΔS′= πR² 

【答案】E = kπσ ，方向垂直邊界線所在的平面。

〖學員思考〗如果這個半球面在yoz平面的兩邊均勻帶有異種電荷，面密度仍為σ，那么，球心處的場強又是多少？

〖推薦解法〗將半球面看成4個球面，每個球面在x、y、z三個方向上分量均為 kπσ，能夠對稱抵消的將是y、z兩個方向上的分量，因此ΣE = ΣE_x …

〖答案〗大小為kπσ，方向沿x軸方向（由帶正電的一方指向帶負電的一方）。

【物理情形2】有一個均勻的帶電球體，球心在O點，半徑為R ，電荷體密度為ρ ，球體內有一個球形空腔，空腔球心在O′點，半徑為R′，= a ，如圖7-7所示，試求空腔中各點的場強。

【模型分析】這里涉及兩個知識的應用：一是均勻帶電球體的場強定式（它也是來自疊加原理，這里具體用到的是球體內部的結論，即“剝皮法則”），二是填補法。

將球體和空腔看成完整的帶正電的大球和帶負電（電荷體密度相等）的小球的集合，對于空腔中任意一點P ，設 = r₁ ， = r₂ ，則大球激發(fā)的場強為

E₁ = k = kρπr₁ ，方向由O指向P

“小球”激發(fā)的場強為

E₂ = k = kρπr₂ ，方向由P指向O′

E₁和E₂的矢量合成遵從平行四邊形法則，ΣE的方向如圖。又由于矢量三角形PE₁ΣE和空間位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不難確定了。

【答案】恒為kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的電場是勻強電場。

〖學員思考〗如果在模型2中的OO′連線上O′一側距離O為b（b＞R）的地方放一個電量為q的點電荷，它受到的電場力將為多大？

〖解說〗上面解法的按部就班應用…

〖答〗πkρq〔?〕。

二、電勢、電量與電場力的功

【物理情形1】如圖7-8所示，半徑為R的圓環(huán)均勻帶電，電荷線密度為λ，圓心在O點，過圓心跟環(huán)面垂直的軸線上有P點， = r ，以無窮遠為參考點，試求P點的電勢U_P 。

【模型分析】這是一個電勢標量疊加的簡單模型。先在圓環(huán)上取一個元段ΔL ，它在P點形成的電勢

ΔU = k

環(huán)共有段，各段在P點形成的電勢相同，而且它們是標量疊加。

【答案】U_P = 

〖思考〗如果上題中知道的是環(huán)的總電量Q ，則U_P的結論為多少？如果這個總電量的分布不是均勻的，結論會改變嗎？

〖答〗U_P =  ；結論不會改變。

〖再思考〗將環(huán)換成半徑為R的薄球殼，總電量仍為Q ，試問：（1）當電量均勻分布時，球心電勢為多少？球內（包括表面）各點電勢為多少？（2）當電量不均勻分布時，球心電勢為多少？球內（包括表面）各點電勢為多少？

〖解說〗（1）球心電勢的求解從略；

球內任一點的求解參看圖7-5

ΔU₁ = k= k·= kσΔΩ

ΔU₂ = kσΔΩ

它們代數(shù)疊加成 ΔU = ΔU₁ + ΔU₂ = kσΔΩ

而 r₁ + r₂ = 2Rcosα

所以 ΔU = 2RkσΔΩ

所有面元形成電勢的疊加 ΣU = 2RkσΣΔΩ

注意：一個完整球面的ΣΔΩ = 4π（單位：球面度sr），但作為對頂?shù)腻F角，ΣΔΩ只能是2π ，所以——

ΣU = 4πRkσ= k

（2）球心電勢的求解和〖思考〗相同；

球內任一點的電勢求解可以從（1）問的求解過程得到結論的反證。

〖答〗（1）球心、球內任一點的電勢均為k ；（2）球心電勢仍為k ，但其它各點的電勢將隨電量的分布情況的不同而不同（內部不再是等勢體，球面不再是等勢面）。

【相關應用】如圖7-9所示，球形導體空腔內、外壁的半徑分別為R₁和R₂ ，帶有凈電量+q ，現(xiàn)在其內部距球心為r的地方放一個電量為+Q的點電荷，試求球心處的電勢。

【解析】由于靜電感應，球殼的內、外壁形成兩個帶電球殼。球心電勢是兩個球殼形成電勢、點電荷形成電勢的合效果。

根據靜電感應的嘗試，內壁的電荷量為－Q ，外壁的電荷量為+Q+q ，雖然內壁的帶電是不均勻的，根據上面的結論，其在球心形成的電勢仍可以應用定式，所以…

【答案】U_o = k － k + k 。

〖反饋練習〗如圖7-10所示，兩個極薄的同心導體球殼A和B，半徑分別為R_A和R_B ，現(xiàn)讓A殼接地，而在B殼的外部距球心d的地方放一個電量為+q的點電荷。試求：（1）A球殼的感應電荷量；（2）外球殼的電勢。

〖解說〗這是一個更為復雜的靜電感應情形，B殼將形成圖示的感應電荷分布（但沒有凈電量），A殼的情形未畫出（有凈電量），它們的感應電荷分布都是不均勻的。

此外，我們還要用到一個重要的常識：接地導體（A殼）的電勢為零。但值得注意的是，這里的“為零”是一個合效果，它是點電荷q 、A殼、B殼（帶同樣電荷時）單獨存在時在A中形成的的電勢的代數(shù)和，所以，當我們以球心O點為對象，有

U_O = k + k + k = 0

Q_B應指B球殼上的凈電荷量，故 Q_B = 0

所以 Q_A = －q

☆學員討論：A殼的各處電勢均為零，我們的方程能不能針對A殼表面上的某點去列？（答：不能，非均勻帶電球殼的球心以外的點不能應用定式?。?/p>

基于剛才的討論，求B的電勢時也只能求B的球心的電勢（獨立的B殼是等勢體，球心電勢即為所求）——

U_B = k + k

〖答〗（1）Q_A = －q ；（2）U_B = k(1－) 。

【物理情形2】圖7-11中，三根實線表示三根首尾相連的等長絕緣細棒，每根棒上的電荷分布情況與絕緣棒都換成導體棒時完全相同。點A是Δabc的中心，點B則與A相對bc棒對稱，且已測得它們的電勢分別為U_A和U_B 。試問：若將ab棒取走，A、B兩點的電勢將變?yōu)槎嗌伲?/p>

【模型分析】由于細棒上的電荷分布既不均勻、三根細棒也沒有構成環(huán)形，故前面的定式不能直接應用。若用元段分割→疊加，也具有相當?shù)睦щy。所以這里介紹另一種求電勢的方法。

每根細棒的電荷分布雖然復雜，但相對各自的中點必然是對稱的，而且三根棒的總電量、分布情況彼此必然相同。這就意味著：①三棒對A點的電勢貢獻都相同（可設為U₁）；②ab棒、ac棒對B點的電勢貢獻相同（可設為U₂）；③bc棒對A、B兩點的貢獻相同（為U₁）。

所以，取走ab前  3U₁ = U_A

                 2U₂ + U₁ = U_B

取走ab后，因三棒是絕緣體，電荷分布不變，故電勢貢獻不變，所以

  U_A′= 2U₁

                 U_B′= U₁ + U₂

【答案】U_A′= U_A ；U_B′= U_A + U_B 。

〖模型變換〗正四面體盒子由彼此絕緣的四塊導體板構成，各導體板帶電且電勢分別為U₁ 、U₂ 、U₃和U₄ ，則盒子中心點O的電勢U等于多少？

〖解說〗此處的四塊板子雖然位置相對O點具有對稱性，但電量各不相同，因此對O點的電勢貢獻也不相同，所以應該想一點辦法——

我們用“填補法”將電量不對稱的情形加以改觀：先將每一塊導體板復制三塊，作成一個正四面體盒子，然后將這四個盒子位置重合地放置——構成一個有四層壁的新盒子。在這個新盒子中，每個壁的電量將是完全相同的（為原來四塊板的電量之和）、電勢也完全相同（為U₁ + U₂ + U₃ + U₄），新盒子表面就構成了一個等勢面、整個盒子也是一個等勢體，故新盒子的中心電勢為

U′= U₁ + U₂ + U₃ + U₄ 

最后回到原來的單層盒子，中心電勢必為 U =  U′

〖答〗U = （U₁ + U₂ + U₃ + U₄）。

☆學員討論：剛才的這種解題思想是否適用于“物理情形2”？（答：不行，因為三角形各邊上電勢雖然相等，但中點的電勢和邊上的并不相等。）

〖反饋練習〗電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面半徑為R ，CD為通過半球頂點C和球心O的軸線，如圖7-12所示。P、Q為CD軸線上相對O點對稱的兩點，已知P點的電勢為U_P ，試求Q點的電勢U_Q 。

〖解說〗這又是一個填補法的應用。將半球面補成完整球面，并令右邊內、外層均勻地帶上電量為q的電荷，如圖7-12所示。

從電量的角度看，右半球面可以看作不存在，故這時P、Q的電勢不會有任何改變。

而換一個角度看，P、Q的電勢可以看成是兩者的疊加：①帶電量為2q的完整球面；②帶電量為－q的半球面。

考查P點，U_P = k + U_半球面

其中 U_半球面顯然和為填補時Q點的電勢大小相等、符號相反，即 U_半球面= －U_Q 

以上的兩個關系已經足以解題了。

〖答〗U_Q = k － U_P 。

【物理情形3】如圖7-13所示，A、B兩點相距2L ，圓弧是以B為圓心、L為半徑的半圓。A處放有電量為q的電荷，B處放有電量為－q的點電荷。試問：（1）將單位正電荷從O點沿移到D點，電場力對它做了多少功？（2）將單位負電荷從D點沿AB的延長線移到無窮遠處去，電場力對它做多少功？

【模型分析】電勢疊加和關系W_AB = q（U_A － U_B）= qU_AB的基本應用。

U_O = k + k = 0

U_D = k + k = －

U_∞ = 0

再用功與電勢的關系即可。

【答案】（1）；（2）。 

【相關應用】在不計重力空間，有A、B兩個帶電小球，電量分別為q₁和q₂ ，質量分別為m₁和m₂ ，被固定在相距L的兩點。試問：（1）若解除A球的固定，它能獲得的最大動能是多少？（2）若同時解除兩球的固定，它們各自的獲得的最大動能是多少？（3）未解除固定時，這個系統(tǒng)的靜電勢能是多少？

【解說】第（1）問甚間；第（2）問在能量方面類比反沖裝置的能量計算，另啟用動量守恒關系；第（3）問是在前兩問基礎上得出的必然結論…（這里就回到了一個基本的觀念斧正：勢能是屬于場和場中物體的系統(tǒng)，而非單純屬于場中物體——這在過去一直是被忽視的。在兩個點電荷的環(huán)境中，我們通常說“兩個點電荷的勢能”是多少。）

【答】（1）k；（2）E_k1 = k ，E_k2 = k；（3）k 。

〖思考〗設三個點電荷的電量分別為q₁ 、q₂和q₃ ，兩兩相距為r₁₂ 、r₂₃和r₃₁ ，則這個點電荷系統(tǒng)的靜電勢能是多少？

〖解〗略。

〖答〗k（++）。

〖反饋應用〗如圖7-14所示，三個帶同種電荷的相同金屬小球，每個球的質量均為m 、電量均為q ，用長度為L的三根絕緣輕繩連接著，系統(tǒng)放在光滑、絕緣的水平面上?，F(xiàn)將其中的一根繩子剪斷，三個球將開始運動起來，試求中間這個小球的最大速度。

〖解〗設剪斷的是1、3之間的繩子，動力學分析易知，2球獲得最大動能時，1、2之間的繩子與2、3之間的繩子剛好應該在一條直線上。而且由動量守恒知，三球不可能有沿繩子方向的速度。設2球的速度為v ，1球和3球的速度為v′，則

動量關系 mv + 2m v′= 0

能量關系 3k = 2 k + k + mv² + 2m

解以上兩式即可的v值。

〖答〗v = q 。

三、電場中的導體和電介質

【物理情形】兩塊平行放置的很大的金屬薄板A和B，面積都是S ，間距為d（d遠小于金屬板的線度），已知A板帶凈電量+Q₁ ，B板帶盡電量+Q₂ ，且Q₂＜Q₁ ，試求：（1）兩板內外表面的電量分別是多少；（2）空間各處的場強；（3）兩板間的電勢差。

【模型分析】由于靜電感應，A、B兩板的四個平面的電量將呈現(xiàn)一定規(guī)律的分布（金屬板雖然很薄，但內部合場強為零的結論還是存在的）；這里應注意金屬板“很大”的前提條件，它事實上是指物理無窮大，因此，可以應用無限大平板的場強定式。

為方便解題，做圖7-15，忽略邊緣效應，四個面的電荷分布應是均勻的，設四個面的電荷面密度分別為σ₁ 、σ₂ 、σ₃和σ₄ ，顯然

（σ₁ + σ₂）S = Q₁ 

（σ₃ + σ₄）S = Q₂ 

A板內部空間場強為零，有 2πk（σ₁ ? σ₂ ? σ₃ ? σ₄）= 0

A板內部空間場強為零，有 2πk（σ₁ + σ₂ + σ₃ ? σ₄）= 0

解以上四式易得 σ₁ = σ₄ = 

               σ₂ = ?σ₃ = 

有了四個面的電荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空間的場強就好求了〔如E_Ⅱ =2πk（σ₁ + σ₂ ? σ₃ ? σ₄）= 2πk〕。

最后，U_AB = E_Ⅱd

【答案】（1）A板外側電量、A板內側電量，B板內側電量?、B板外側電量；（2）A板外側空間場強2πk，方向垂直A板向外，A、B板之間空間場強2πk，方向由A垂直指向B，B板外側空間場強2πk，方向垂直B板向外；（3）A、B兩板的電勢差為2πkd，A板電勢高。

〖學員思考〗如果兩板帶等量異號的凈電荷，兩板的外側空間場強等于多少？（答：為零。）

〖學員討論〗（原模型中）作為一個電容器，它的“電量”是多少（答：）？如果在板間充滿相對介電常數(shù)為ε_r的電介質，是否會影響四個面的電荷分布（答：不會）？是否會影響三個空間的場強（答：只會影響Ⅱ空間的場強）？

〖學員討論〗（原模型中）我們是否可以求出A、B兩板之間的靜電力？〔答：可以；以A為對象，外側受力·（方向相左），內側受力·（方向向右），它們合成即可，結論為F = Q₁Q₂ ，排斥力?！?/p>

【模型變換】如圖7-16所示，一平行板電容器，極板面積為S ，其上半部為真空，而下半部充滿相對介電常數(shù)為ε_r的均勻電介質，當兩極板分別帶上+Q和?Q的電量后，試求：（1）板上自由電荷的分布；（2）兩板之間的場強；（3）介質表面的極化電荷。

【解說】電介質的充入雖然不能改變內表面的電量總數(shù)，但由于改變了場強，故對電荷的分布情況肯定有影響。設真空部分電量為Q₁ ，介質部分電量為Q₂ ，顯然有

Q₁ + Q₂ = Q

兩板分別為等勢體，將電容器看成上下兩個電容器的并聯(lián)，必有

U₁ = U₂ 即  =  ，即  = 

解以上兩式即可得Q₁和Q₂ 。

場強可以根據E = 關系求解，比較常規(guī)（上下部分的場強相等）。

上下部分的電量是不等的，但場強居然相等，這怎么解釋？從公式的角度看，E = 2πkσ（單面平板），當k 、σ同時改變，可以保持E不變，但這是一種結論所展示的表象。從內在的角度看，k的改變正是由于極化電荷的出現(xiàn)所致，也就是說，極化電荷的存在相當于在真空中形成了一個新的電場，正是這個電場與自由電荷（在真空中）形成的電場疊加成為E₂ ，所以

E₂ = 4πk（σ ? σ′）= 4πk（ ? ）

請注意：①這里的σ′和Q′是指極化電荷的面密度和總量；② E = 4πkσ的關系是由兩個帶電面疊加的合效果。

【答案】（1）真空部分的電量為Q ，介質部分的電量為Q ；（2）整個空間的場強均為 ；（3）Q 。

〖思考應用〗一個帶電量為Q的金屬小球，周圍充滿相對介電常數(shù)為ε_r的均勻電介質，試求與與導體表面接觸的介質表面的極化電荷量。

〖解〗略。

〖答〗Q′= Q 。

四、電容器的相關計算

【物理情形1】由許多個電容為C的電容器組成一個如圖7-17所示的多級網絡，試問：（1）在最后一級的右邊并聯(lián)一個多大電容C′，可使整個網絡的A、B兩端電容也為C′？（2）不接C′，但無限地增加網絡的級數(shù)，整個網絡A、B兩端的總電容是多少？

【模型分析】這是一個練習電容電路簡化基本事例。

第（1）問中，未給出具體級數(shù)，一般結論應適用特殊情形：令級數(shù)為1 ，于是

 +  =  解C′即可。

第（2）問中，因為“無限”，所以“無限加一級后仍為無限”，不難得出方程

 +  = 

【答案】（1）C ；（2）C 。

【相關模型】在圖7-18所示的電路中，已知C₁ = C₂ = C₃ = C₉ = 1μF ，C₄ = C₅ = C₆ = C₇ = 2μF ，C₈ = C₁₀ = 3μF ，試求A、B之間的等效電容。

【解說】對于既非串聯(lián)也非并聯(lián)的電路，需要用到一種“Δ→Y型變換”，參見圖7-19，根據三個端點之間的電容等效，容易得出定式——

Δ→Y型：C_a = 

          C_b = 

          C_c = 

Y→Δ型：C₁ = 

         C₂ = 

         C₃ = 

有了這樣的定式后，我們便可以進行如圖7-20所示的四步電路簡化（為了方便，電容不宜引進新的符號表達，而是直接將變換后的量值標示在圖中）——

【答】約2.23μF 。

【物理情形2】如圖7-21所示的電路中，三個電容器完全相同，電源電動勢ε₁ = 3.0V ，ε₂ = 4.5V，開關K₁和K₂接通前電容器均未帶電，試求K₁和K₂接通后三個電容器的電壓U_ao 、U_bo和U_co各為多少。

【解說】這是一個考查電容器電路的基本習題，解題的關鍵是要抓與o相連的三塊極板（俗稱“孤島”）的總電量為零。

電量關系：++= 0

電勢關系：ε₁ = U_ao + U_ob = U_ao ? U_bo 

          ε₂ = U_bo + U_oc = U_bo ? U_co 

解以上三式即可。

【答】U_ao = 3.5V ，U_bo = 0.5V ，U_co = ?4.0V 。

【伸展應用】如圖7-22所示，由n個單元組成的電容器網絡，每一個單元由三個電容器連接而成，其中有兩個的電容為3C ，另一個的電容為3C 。以a、b為網絡的輸入端，a′、b′為輸出端，今在a、b間加一個恒定電壓U ，而在a′b′間接一個電容為C的電容器，試求：（1）從第k單元輸入端算起，后面所有電容器儲存的總電能；（2）若把第一單元輸出端與后面斷開，再除去電源，并把它的輸入端短路，則這個單元的三個電容器儲存的總電能是多少？

【解說】這是一個結合網絡計算和“孤島現(xiàn)象”的典型事例。

（1）類似“物理情形1”的計算，可得 C_總 = C_k = C

所以，從輸入端算起，第k單元后的電壓的經驗公式為 U_k = 

再算能量儲存就不難了。

（2）斷開前，可以算出第一單元的三個電容器、以及后面“系統(tǒng)”的電量分配如圖7-23中的左圖所示。這時，C₁的右板和C₂的左板（或C₂的下板和C₃的右板）形成“孤島”。此后，電容器的相互充電過程（C₃類比為“電源”）滿足——

電量關系：Q₁′= Q₃′

          Q₂′+ Q₃′= 

電勢關系：+  = 

從以上三式解得 Q₁′= Q₃′=  ，Q₂′=  ，這樣系統(tǒng)的儲能就可以用得出了。

【答】（1）E_k = ；（2） 。

〖學員思考〗圖7-23展示的過程中，始末狀態(tài)的電容器儲能是否一樣？（答：不一樣；在相互充電的過程中，導線消耗的焦耳熱已不可忽略。）

☆第七部分完☆

人教版第十二章   運動和力 復習提綱

一、參照物

　　1．定義：為研究物體的運動假定不動的物體叫做參照物。

 　　2．任何物體都可做參照物，通常選擇參照物以研究問題的方便而定。如研究地面上的物體的運動，常選地面或固定于地面上的物體為參照物，在這種情況下參照物可以不提。

 　　3．選擇不同的參照物來觀察同一個物體結論可能不同。同一個物體是運動還是靜止取決于所選的參照物，這就是運動和靜止的相對性。

 　　4．不能選擇所研究的對象本身作為參照物那樣研究對象總是靜止的。

 　　練習：

 　　☆詩句“滿眼風光多閃爍，看山恰似走來迎，仔細看山山不動，是船行”其中“看山恰似走來迎”和“是船行”所選的參照物分別是船和山。

 　　☆坐在向東行駛的甲汽車里的乘客，看到路旁的樹木向后退去，同時又看到乙汽車也從甲汽車旁向后退去，試說明乙汽車的運動情況。

 　　分三種情況：①乙汽車沒動；②乙汽車向東運動，但速度沒甲快；③乙汽車向西運動。

 　　☆解釋毛澤東《送瘟神》中的詩句“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”。

 　　第一句：以地心為參照物，地面繞地心轉八萬里。第二句：以月亮或其他天體為參照物在那可看到地球上許多河流。

 　　二、機械運動

 　　定義：物理學里把物體位置變化叫做機械運動。

 　　特點：機械運動是宇宙中最普遍的現(xiàn)象。

 　　比較物體運動快慢的方法：

 　　⑴比較同時啟程的步行人和騎車人的快慢采用：時間相同路程長則運動快。

 　?、票容^百米運動員快慢采用：路程相同時間短則運動快。

 　?、前倜踪惻苓\動員同萬米運動員比較快慢，采用：比較單位時間內通過的路程。實際問題中多用這種方法比較物體運動快慢，物理學中也采用這種方法描述運動快慢。

 　　練習：體育課上，甲、乙、丙三位同學進行百米賽跑，他們的成績分別是14．2S，13．7S，13．9S，則獲得第一名的是    同學，這里比較三人賽跑快慢最簡便的方法是路程相同時間短運動的快。

 　　分類：（根據運動路線）⑴曲線運動；⑵直線運動。

 　?、?u>  勻速直線運動：

 　　定義：快慢不變，沿著直線的運動叫勻速直線運動。

 　　定義：在勻速直線運動中，速度等于運動物體在單位時間內通過的路程。

 　　物理意義：速度是表示物體運動快慢的物理量。

 　　計算公式：變形，。

 　速度單位：國際單位制中m/s；運輸中單位km/h；兩單位中m/s單位大。

 　　換算：1m/s=3．6km/h。人步行速度約1．1m/s。它表示的物理意義是：人勻速步行時1秒中運動1．1m。

 　　直接測量工具：速度計。

 　　速度圖象：

 　?、?u>  變速運動：

 　　定義：運動速度變化的運動叫變速運動。

　　（求某段路程上的平均速度，必須找出該路程及對應的時間）。

 　　物理意義：表示變速運動的平均快慢。

 　　平均速度的測量：原理。

 　　方法：用刻度尺測路程，用停表測時間。從斜面上加速滑下的小車。設上半段，下半段，全程的平均速度為v1．v2．v 則v2>v>v1。

 　　常識：人步行速度1．1m/s；自行車速度5m/s；大型噴氣客機速度900km/h；客運火車速度140km/h；高速小汽車速度108km/h；光速和無線電波3×108m/s。

 　?、?u>  實驗中數(shù)據的記錄：

 　　設計數(shù)據記錄表格是初中應具備的基本能力之一。設計表格時，要先弄清實驗中直接測量的量和計算的量有哪些，然后再弄清需要記錄的數(shù)據的組數(shù)，分別作為表格的行和列。根據需要就可設計出合理的表格。

　　練習： 　　某次中長跑測驗中，小明同學跑1000m，小紅同學跑800m，測出他兩跑完全程所用的時間分別是4分10秒和三分20秒，請設計記錄表格，并將他們跑步的路程、時間和平均速度記錄在表格中。

	跑步路程	時間	平均速度
小明	1000m	4分10秒	4m/s
小紅	800m	3分20秒	4m/s

 　　解：表格設計如下

 

 　　

三、長度的測量

 　　1．長度的測量是物理學最基本的測量，也是進行科學探究的基本技能。長度測量的常用的工具是刻度尺。

 　　2．國際單位制中，長度的主單位是m，常用單位有千米（km），分米（dm），厘米（cm），毫米（mm），微米（μm），納米（nm）。

 　　3．主單位與常用單位的換算關系：

 　　1km=103m；1m=10dm；1dm=10cm；1cm=10mm；1mm=103μm；1m=106μm；1m=109nm；1μm=103nm。

 　　單位換算的過程：口訣：“系數(shù)不變，等量代換”。

 　　4．長度估測：黑板的長度2．5m；課桌高0．7m；籃球直徑24cm；指甲寬度1cm；鉛筆芯的直徑1mm；一只新鉛筆長度1．75dm；手掌寬度1dm；墨水瓶高度6cm。

 　　5．特殊的測量方法：

 　　A、測量細銅絲的直徑、一張紙的厚度等微小量常用累積法（當被測長度較小，測量工具精度不夠時可將較小的物體累積起來，用刻度尺測量之后再求得單一長度）

 　　☆如何測物理課本中一張紙的厚度？

 　　答：數(shù)出物理課本若干張紙，記下總張數(shù)n，用毫米刻度尺測出n張紙的厚度L，則一張紙的厚度為L/n。

 　　☆如何測細銅絲的直徑？

 　　答：把細銅絲在鉛筆桿上緊密排繞n圈成螺線管，用刻度尺測出螺線管的長度L，則細銅絲直徑為L/n。

 　　☆兩卷細銅絲，其中一卷上有直徑為0．3mm，而另一卷上標簽已脫落，如果只給你兩只相同的新鉛筆，你能較為準確地弄清它的直徑嗎？寫出操作過程及細銅絲直徑的數(shù)學表達式。

 　　答：將已知直徑和未知直徑兩卷細銅絲分別緊密排繞在兩只相同的新鉛筆上，且使線圈長度相等，記下排繞圈數(shù)N1和N2，則可計算出未知銅絲的直徑D2=0．3N1／N2mm

 　　B、測地圖上兩點間的距離，圓柱的周長等常用化曲為直法（把不易拉長的軟線重合待測曲線上標出起點終點，然后拉直測量）

 　　☆給你一段軟銅線和一把刻度尺，你能利用地圖冊估測出北京到廣州的鐵路長嗎？

 　　答：用細銅線去重合地圖冊上北京到廣州的鐵路線，再將細銅線拉直，用刻度尺測出長度L查出比例尺，計算出鐵路線的長度。

 　　C、測操場跑道的長度等常用輪滾法（用已知周長的滾輪沿著待測曲線滾動，記下輪子圈數(shù)，可算出曲線長度）

 　　D、測硬幣、球、圓柱的直徑圓錐的高等常用輔助法（對于用刻度尺不能直接測出的物體長度可將刻度尺三角板等組合起來進行測量）

 　　你能想出幾種方法測硬幣的直徑？（簡述）

 　　①直尺三角板輔助法；②貼折硬幣邊緣用筆畫一圈剪下后對折量出折痕長；③硬幣在紙上滾動一周測周長求直徑；④將硬幣平放直尺上，讀取和硬幣左右相切的兩刻度線之間的長度。

 　　6．刻度尺的使用規(guī)則：

 　　A、“選”：根據實際需要選擇刻度尺。

 　　B、“觀”：使用刻度尺前要觀察它的零刻度線、量程、分度值。

 　　C、“放”用刻度尺測長度時，尺要沿著所測直線（緊貼物體且不歪斜）。不利用磨損的零刻線。（用零刻線磨損的刻度尺測物體時，要從整刻度開始）

 　　D、“看”：讀數(shù)時視線要與尺面垂直。

 　　E、“讀”：在精確測量時，要估讀到分度值的下一位。

 　　F、“記”：測量結果由數(shù)字和單位組成。（也可表達為：測量結果由準確值、估讀值和單位組成）。

 　　練習：有兩位同學測同一只鋼筆的長度，甲測得結果12．82cm，乙測得結果為12．8cm。如果這兩位同學測量時都沒有錯誤，那么結果不同的原因是：兩次刻度尺的分度值不同。如果這兩位同學所用的刻度尺分度值都是mm，則乙同學的結果錯誤。原因是：沒有估讀值。

 　　7．誤差：

 　　（1）定義：測量值和真實值的差異叫誤差。

 　?。?）產生原因：測量工具  測量環(huán)境  人為因素。

 　?。?）減小誤差的方法：多次測量求平均值；用更精密的儀器。

 　?。?）誤差只能減小而不能避免，而錯誤是由于不遵守測量儀器的使用規(guī)則和主觀粗心造成的，是能夠避免的。

 　　四、時間的測量

 　　1．單位：秒（S）。

 　　2．測量工具：古代：日晷、沙漏、滴漏、脈搏等。

 　　現(xiàn)代：機械鐘、石英鐘、電子表等。

 　　五、力的作用效果

 　　1．力的概念：力是物體對物體的作用。

 　　2．力產生的條件：①必須有兩個或兩個以上的物體；②物體間必須有相互作用（可以不接觸）。

 　　3．力的性質：物體間力的作用是相互的（相互作用力在任何情況下都是大小相等，方向相反，作用在不同物體上）。兩物體相互作用時，施力物體同時也是受力物體，反之，受力物體同時也是施力物體。

 　　4．力的作用效果：力可以改變物體的運動狀態(tài)；力可以改變物體的形狀。

 　　說明：物體的運動狀態(tài)是否改變一般指：物體的運動快慢是否改變（速度大小的改變）和物體的運動方向是否改變。

 　　5．力的單位：國際單位制中力的單位是牛頓簡稱牛，用N表示。

 　　力的感性認識：拿兩個雞蛋所用的力大約1N。

 　　6．力的測量：

 　?、艤y力計：測量力的大小的工具。

 　?、品诸悾簭椈蓽y力計、握力計。

 　　⑶彈簧測力計：

 　　A、原理：在彈性限度內，彈簧的伸長與所受的拉力成正比。

 　　B、使用方法：“看”：量程、分度值、指針是否指零；“調”：調零；“讀”：讀數(shù)=掛鉤受力。

 　　C、注意事項：加在彈簧測力計上的力不許超過它的最大量程。

 　　D、物理實驗中，有些物理量的大小是不宜直接觀察的，但它變化時引起其他物理量的變化卻容易觀察，用容易觀察的量顯示不宜觀察的量，是制作測量儀器的一種思路。這種科學方法稱做“轉換法”。利用這種方法制作的儀器：溫度計、彈簧測力計、壓強計等。

 　　7．力的三要素：力的大小、方向、和作用點。

 　　8．力的表示法：力的示意圖：用一根帶箭頭的線段把力的大小、方向、作用點表示出來，如果沒有大小，可不表示，在同一個圖中，力越大，線段應越長。

 　　六、慣性和慣性定律

 　　1．伽利略斜面實驗：

 　　⑴三次實驗小車都從斜面頂端滑下的目的是：保證小車開始沿著平面運動的速度相同。

 　　⑵實驗得出得結論：在同樣條件下，平面越光滑，小車前進地越遠。

 　　⑶伽利略的推論是：在理想情況下，如果表面絕對光滑，物體將以恒定不變的速度永遠運動下去。

 　　⑷伽利略斜面實驗的卓越之處不是實驗本身，而是實驗所使用的獨特方法──在實驗的基礎上，進行理想化推理。（也稱作理想化實驗）它標志著物理學的真正開端。

　　2．牛頓第一定律：

 　　⑴牛頓總結了伽利略、笛卡兒等人的研究成果，得出了牛頓第一定律，其內容是：一切物體在沒有受到力的作用的時候，總保持靜止狀態(tài)或勻速直線運動狀態(tài)。

 　?、普f明：

 　　A、牛頓第一定律是在大量經驗事實的基礎上，通過進一步推理而概括出來的，且經受住了實踐的檢驗所以已成為大家公認的力學基本定律之一。但是，我們周圍不受力是不可能的，因此不可能用實驗來直接證明牛頓第一定律。

 　　B、牛頓第一定律的內涵：物體不受力，原來靜止的物體將保持靜止狀態(tài)，原來運動的物體，不管原來做什么運動，物體都將做勻速直線運動。

 　　C、牛頓第一定律告訴我們：物體做勻速直線運動可以不需要力，即力與運動狀態(tài)無關，所以力不是產生或維持運動的原因。

　　3．慣性：

 　?、哦x：物體保持運動狀態(tài)不變的性質叫慣性。

 　?、普f明：慣性是物體的一種屬性。一切物體在任何情況下都有慣性，慣性大小只與物體的質量有關，與物體是否受力、受力大小、是否運動、運動速度等皆無關。

 　　4．慣性與慣性定律的區(qū)別：

 　　A、慣性是物體本身的一種屬性，而慣性定律是物體不受力時遵循的運動規(guī)律。

 　　B、任何物體在任何情況下都有慣性，（即不管物體受不受力、受平衡力還是非平衡力），物體受非平衡力時，慣性表現(xiàn)為“阻礙”運動狀態(tài)的變化；慣性定律成立是有條件的。

 　　☆人們有時要利用慣性，有時要防止慣性帶來的危害，請就以上兩點各舉兩例（不要求解釋）。答：利用：跳遠運動員的助跑；用力可以將石頭甩出很遠；騎自行車蹬幾下后可以讓它滑行。防止：小型客車前排乘客要系安全帶；車輛行使要保持距離；包裝玻璃制品要墊上很厚的泡沫塑料。

 　　七、二力平衡

 　　1．定義：物體在受到兩個力的作用時，如果能保持靜止狀態(tài)或勻速直線運動狀態(tài)稱二力平衡。

 　　2．二力平衡條件：二力作用在同一物體上、大小相等、方向相反、兩個力在一條直線上。

 　　概括：二力平衡條件用四字概括“一、等、反、一”。

 　　3．平衡力與相互作用力比較：

 　　相同點：①大小相等；②方向相反；③作用在一條直線上不同點：平衡力作用在一個物體上可以是不同性質的力；相互力作用在不同物體上是相同性質的力。

 　　4．力和運動狀態(tài)的關系：

物體受力條件	物體運動狀態(tài)	說明
		力不是產生（維持）運動的原因
受非平衡力 合力不為0		力是改變物體運動狀態(tài)的原因

 　　5．應用：應用二力平衡條件解題要畫出物體受力示意圖。

 　　畫圖時注意：①先畫重力然后看物體與那些物體接觸，就可能受到這些物體的作用力；②畫圖時還要考慮物體運動狀態(tài)。