如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²+4ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-8，0）、（0，4）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）經(jīng)過點(diǎn)C的直線y=3x+c與x軸交于點(diǎn)D，若動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CA勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線CD對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說明理由？
（3）在（2）的結(jié)論下，作直線PQ，在直線PQ上方有一點(diǎn)M，連接PM、QM，線段PM與線段AC交于點(diǎn)N，若∠PMQ=90°且PN²=NQ×NA，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)M是否存在（1）中的拋物線上．