課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：

如圖，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連結(jié)BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD)，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．

(2)問題解決：

受到(1)的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF．

①求證：BE＋CF＞EF

②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．

(3)問題拓展：

如圖，在四邊形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

探究：如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于點(diǎn)E．若AE＝10，求四邊形ABCD的面積．

應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于點(diǎn)E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，則四邊形ABCD的面積為________．

已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)(不與B、C重合)，過F點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．

(1)求證：△AOE與△BOF的面積相等．

(2)記S＝S_△OEF－S_△ECF，求當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

(3)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，做一日和尚撞一天鐘得將CEF沿EF對折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N．

(Ⅰ)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖①，求證：MN²＝AM²＋BN²；

思路點(diǎn)撥：考慮MN²＝AM²＋BN²符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．

(Ⅱ)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時(shí)，關(guān)系式MN²＝AM²＋BN²是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F．

當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)(如圖1)，易證．

當(dāng)∠EDF繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△(使＜180°)，連接、，設(shè)直線與AC交于點(diǎn)O．

(1)如圖，當(dāng)AC＝BC時(shí)，的值為________；

(2)如圖，當(dāng)AC＝5，BC＝4時(shí)，求的值；

(3)在(2)的條件下，若∠ACB＝60°，且E為BC的中點(diǎn)，求△OAB面積的最小值．

已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)．

(1)求證：①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形．

(2)在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；

(3)在(2)的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點(diǎn)P．求證：△PBD∽△AMN．

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°＜＜180°)，得到△C．

(1)如圖，當(dāng)AB∥C時(shí)，設(shè)AB與CB^/相交于D．證明：△CD是等邊三角形；

(2)如圖，連接A、B，設(shè)△AC和△BC的面積分別為和．求證：∶＝1∶3；

(3)如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為E，B^/中點(diǎn)為P，AC＝a，連接EP，當(dāng)＝_________°時(shí)，EP長度最大，最大值為_________．

將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．

(1)求證：AF＋EF＝DE；

(2)若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，請?jiān)趫D②中畫出變換后的圖形，并直接寫出(1)中的結(jié)論是否仍然成立；

(3)若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖③．你認(rèn)為(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由．

已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，連結(jié)DE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)DC、BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°．

(1)寫出圖中三對相似三角形(注意：不得添加字母和線)

(2)請?jiān)谀闼页龅南嗨迫切沃羞x取一對，說明它們相似的理由．

已知如圖，在四邊形ABCD中，AB＜BC，BD平分∠ABC，∠A＋∠C＝180°，求證：AD＝CD．

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，則有結(jié)論EF＝BE＋FD成立；

(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(2)若將(1)中的條件改為：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，延長BC到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．