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已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²與b²的等差中項(xiàng)，其中a、b、c都是正數(shù)，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A₁（0，2），求△F₁PA₁面積的最大值；
（3）已知定點(diǎn)E（-1，0），直線(xiàn)y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點(diǎn)．證明：對(duì)任意的t＞0，都存在實(shí)數(shù)k，使得以線(xiàn)段CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)．

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²與b²的等差中項(xiàng)，其中a、b、c都是正數(shù)，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)M，求|AM|長(zhǎng)度的最大值；
（3）已知定點(diǎn)E（-1，0），直線(xiàn)y=kx+t與橢圓交于C、D相異兩點(diǎn)．證明：對(duì)任意的t＞0，都存在實(shí)數(shù)k，使得以線(xiàn)段CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)F₁、F₂和短軸的兩端點(diǎn)B₁、B₂正好是一正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，且焦點(diǎn)到橢圓上一點(diǎn)的最近距離為

2

-1．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，MN是圓C：x²+（y-2）²=1的任一條直徑，求

PM

•

PN

的最大值．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F₁、F₂、B，我們稱(chēng)△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以?huà)佄锞�(xiàn)y2=4

3

x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線(xiàn)y=nx與拋物線(xiàn)x2=

1

mn

y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線(xiàn)4x²-4y²=1上．
（3）已知直線(xiàn)l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線(xiàn)l上，B，D在曲線(xiàn)C_b上，若存在求出函數(shù)f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．