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已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)E恰為棱CC₁的中點(diǎn)時(shí)，試證明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一個(gè)點(diǎn)E，可以使二面角A₁-BD-E的大小為45°？如果存在，試確定點(diǎn)E在棱CC₁上的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．
（1）求證：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求異面直線AD₁與 C₁O所成角的大�。�

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在平面DD₁C₁C內(nèi)，PD₁=PC₁=

2

．求證：
（1）平面PD₁A₁⊥平面D₁A₁BC；
（2）PC₁∥平面A₁BD．

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為BB₁、CC₁的中點(diǎn)，那么直線AE與D₁F所成角的余弦值為（　�。�

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則四面體A₁-C₁BD在面A₁B₁C₁D₁上的正投影的面積與該四面體表面積之比是．