題目列表(包括答案和解析)
已知
是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,
是等比數(shù)列,且
,
.
(Ⅰ)求數(shù)列
與
的通項公式;
(Ⅱ)記
,
,證明
(
).
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列
的公差為d,等比數(shù)列
的公比為q.
由
,得
,
,
.
由條件,得方程組
,解得![]()
所以
,
,
.
(2)證明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
![]()
![]()
![]()
而![]()
故
,![]()
(方法二:數(shù)學(xué)歸納法)
① 當(dāng)n=1時,
,
,故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即
,則當(dāng)n=k+1時,有:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
即
,因此n=k+1時等式也成立
由①和②,可知對任意
,
成立.
已知遞增等差數(shù)列
滿足:
,且
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列
的通項公式
;
(2)若不等式
對任意
恒成立,試猜想出實數(shù)
的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列
公差為
,
由題意可知
,即
,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于
,利用當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
;而
,所以猜想,
的最小值為
然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列
公差為
,由題意可知
,即
,
解得
或
(舍去). …………3分
所以,
. …………6分
(2)不等式等價于
,
當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
;
而
,所以猜想,
的最小值為
. …………8分
下證不等式
對任意
恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)
時,
,成立.
假設(shè)當(dāng)
時,不等式
成立,
當(dāng)
時,
,
…………10分
只要證
,只要證
,
只要證
,只要證
,
只要證
,顯然成立.所以,對任意
,不等式
恒成立.…14分
方法二:單調(diào)性證明.
要證 ![]()
只要證
,
設(shè)數(shù)列
的通項公式
, …………10分
, …………12分
所以對
,都有
,可知數(shù)列
為單調(diào)遞減數(shù)列.
而
,所以
恒成立,
故
的最小值為
.
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