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( 1 ) 若集合，則M∩N　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．{3}　　　　　　　　　　 B．{0}　　　　　　　　　　 C．{0，2}　　　　　　　 D．{0，3}

[答案]B

解: 　∵由，得，

由，得，

∴M∩N，故選B．

( 2 ) 若，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，則=　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．5

[答案]D

解:　 　∵ ，∴，

　　， ，故選D．

( 3 ) =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]A

解: ，故選A．

( 4 ) 已知高為3的直棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形

(如圖1所示)，則三棱錐的體積為　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

[答案]D

解:∵

∴．

故選D.

( 5 ) 若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則m=(　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]B

解: 　∵，∴，

　 　∵ ，∴，

∴，故選B．

( 6 )函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．(0，2)

[答案]D

解: 　∵

，故選D．

( 7 ) 給出下列關(guān)于互不相同的直線(xiàn)、、和平面、，的四個(gè)命題：

①若，點(diǎn)，則與不共面；

②若m、l是異面直線(xiàn),　 ,　 且，則；

③若, ，則；

④若點(diǎn)，，則．

其中為假命題的是

A．①　　 　 B．②　 　 　C．③　　 　D．④

[答案]C

解：③是假命題，如右圖所示

　　　 滿(mǎn)足, ，　

　　　 但 　，故選C．

　( 8 ) 先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6)，骰子

　 朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為X、Y，則的概率為　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

[答案]C

解：滿(mǎn)足的X、Y有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)這3種情況，而總的可能數(shù)有36種，所以，故選C．

( 9 ) 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像

關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．現(xiàn)將圖像沿x軸向左平移2個(gè)單位，

再沿y軸向上平移1個(gè)單位，所得的圖像是由兩條線(xiàn)段組成的折線(xiàn)

(如圖2所示)，則函數(shù)的表達(dá)式為

　　　 A．　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　 D．

[答案]A

解：將圖象沿y軸向下平移1個(gè)單位，再沿軸向右平移2個(gè)單位得下圖A，從而可以得到的圖象，故，

∵函數(shù)和的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

∴，故選A．

(也可以用特殊點(diǎn)檢驗(yàn)獲得答案)

(10)已知數(shù)列滿(mǎn)足，，．若，則

A．　　 　　　　　　　　　 B．3　　　 　　　　　　　　　　 C．4　　　 　　　　　　　　　　 D．5

[答案]B

解法一：特殊值法，當(dāng)時(shí)，

　 　　　　　　由此可推測(cè)，故選B．

解法二：∵，∴，，

　　　 　∴是以()為首項(xiàng)，以為公比6的等比數(shù)列，

令，則

…

　　 …

∴，∴，故選B.

解法三：∵，∴，

　　　　 ∴其特征方程為，

　　　　　　　 解得　　　 ，，

　　　　　　　　　　　　　 ，

　　　　 ∵，，∴，，

　　　　 ∴，以下同解法二．

22．(本小題滿(mǎn)分14分)

　　　 已知方向向量為的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)()和橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)是否存在過(guò)點(diǎn)E(－2，0)的直線(xiàn)m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿(mǎn)足cot

　　　 ∠MON≠0(O為原點(diǎn)).若存在，求直線(xiàn)m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(Ⅰ)由題意可得直線(xiàn)ι：,　　 ①

過(guò)原點(diǎn)垂直ι的方程為　　　　　　 ②

解①②得x=.∵橢圓中心O(0,0)關(guān)于直線(xiàn)ι的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上,

∴.∵直線(xiàn)ι過(guò)橢圓焦點(diǎn),∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故橢圓C的方程為.　　　 ③

(Ⅱ)設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),當(dāng)直線(xiàn)m不垂直x軸時(shí),直線(xiàn)m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,則x₁+x₂=,x₁x₂=,

|MN|=

點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

當(dāng)直線(xiàn)m垂直x軸時(shí),也滿(mǎn)足

故直線(xiàn)m的方程為或y=或x=-2.

經(jīng)檢驗(yàn)上述直線(xiàn)均滿(mǎn)足.

所在所求直線(xiàn)方程為或y=或x=-2..

21．(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.

　 (Ⅰ)求證AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大�。�

(Ⅲ)求點(diǎn)D到平面ACE的距離.

解法一：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E為直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE

(Ⅱ)連結(jié)BD交AC于G,連結(jié)FG,∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,∴BG⊥AC,BG=,

∵BF⊥平面ACE,由三垂線(xiàn)定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角,

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=,BF=

∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin.

,(Ⅲ)過(guò)E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E為直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

設(shè)D到平面ACE的距離為h,∵,∴.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=.

∴點(diǎn)D點(diǎn)D到平面ACE的距離為.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,OE所在直線(xiàn)為x軸,AB所在直線(xiàn)為y軸,過(guò)O點(diǎn)平行于A(yíng)D的直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖

∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O為AB的中點(diǎn)

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量=(x,y,z),則即解得

令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一個(gè)法向量,又平面BAC的一個(gè)法向量為=(1,0,0),　　

∴cos()=

∴二面角B-AC-E的大小為arccos.

(Ⅲ)∵AD∥z軸,AD=2,∴,∴點(diǎn)D到平面ACE的距離

d=||.

20．(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)M(－1，f(－1))處的切線(xiàn)方程為.

　 (Ⅰ)求函數(shù)的解析式；

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解：(Ⅰ)由的圖象過(guò)點(diǎn)P(0，2),d=2知,所以 ,(x)=3x²+2bx+c,由在(-1,(-1))處的切線(xiàn)方程是6x-y+7=0,知

-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3.

故所求的解析式為f(x)=x³-3x-3+2,

(Ⅱ) (x)=3x²-6x-3,令3x²-6x-3=0即x²-2x-1=0,解得x₁=1-,x₂=1+,

當(dāng)x<1-或x>1+時(shí), (x)>0;當(dāng)1-<x<1+時(shí), (x)<0

∴f(x)=x³-3x²-3x+2在(1+,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(-∞, 1-)內(nèi)是增函數(shù),在(1-,1+)內(nèi)是減函數(shù).

19．(本小題滿(mǎn)分12分)

　　　 已知{}是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.

　 (Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)設(shè){}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，比較S_n與b_n的大小，并說(shuō)明理由.

解：(Ⅰ)由題意得：2a₂=a₁+a₂,即2a₂q²=a₁+a₁q,,∵a₁≠0,∴2q²-q-1=0,∴q=1或q=

(Ⅱ)若q=1,則.

當(dāng)n≥2時(shí),,故

若q=,則,

當(dāng)n≥2時(shí), ,

故對(duì)于n∈N⁺,當(dāng)2≤n≤9時(shí),S_n>b_n；當(dāng)n=10時(shí), S_n=b_n；當(dāng)n≥11時(shí), S_n<b_n

18．(本小題滿(mǎn)分12分)

　　 甲、乙兩人在罰球線(xiàn)投球命中的概率分別為.

　 (Ⅰ)甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球一次，求恰好命中一次的概率；

(Ⅱ)甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率.

(Ⅰ)依題意,記“甲投一次命中”為事件A,“乙投一次命中”為事件B,則P(A)=,P(B)=,P()=,P()=

甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球一次，求恰好命中一次的事件為

P()=P()+P()=

答：甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球一次，求恰好命中一次的概率為

(Ⅱ)∵事件“甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球二次不命中” 的概率是

∴甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球二次，至少有一次命中的概率為P=1-=1-

答：甲、乙兩人在罰球線(xiàn)各投球二次,至少有一次命中的概率為

17．(本小題滿(mǎn)分12分)

已知.

　 (Ⅰ)求的值；

　 (Ⅱ)求的值.

解：(Ⅰ)由,得,得2sinxcosx=,∵(sinx-cosxx)²=1-2sinxcosx=,又∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=-

(Ⅱ) ==

16．把下面不完整的命題補(bǔ)充完整，并使之成為真命題.

若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于　　　　 對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)=

　　　　　 .

(注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情形即可，不必考慮所有可能的情形)

解：若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng), 則函數(shù)=2^x-3.

15．非負(fù)實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足的最大值為　　　　　 .

解：如右圖,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列

曲線(xiàn)方程的圖象:

2x+y-4=0　　 (x≥0,y≥0)

x+y-3=0　　 (x≥0,y≥0)

它們分別是線(xiàn)段AB,CD

則非負(fù)實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足的不等式組

表示的區(qū)域?yàn)镈MAO,

令x+3y=b,使直線(xiàn)系x+3y=b通過(guò)區(qū)域DMAO且使b為取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)x+3y=b過(guò)點(diǎn)D(0,3)這時(shí)最大值b=9.

14．在△ABC中，∠A=90°，的值是　　　　　 .

解：由,得k=