題目列表(包括答案和解析)
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設(shè)函數(shù)![]()
(1)當(dāng)
時,求曲線
處的切線方程;
(2)當(dāng)
時,求
的極大值和極小值;
(3)若函數(shù)
在區(qū)間
上是增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍.
【解析】(1)中,先利用
,表示出點
的斜率值
這樣可以得到切線方程。(2)中,當(dāng)
,再令
,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性,進(jìn)而得到極值。(3)中,利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增,說明了
在區(qū)間
導(dǎo)數(shù)恒大于等于零,分離參數(shù)求解范圍的思想。
解:(1)當(dāng)
……2分
∴![]()
即
為所求切線方程。………………4分
(2)當(dāng)![]()
令
………………6分
∴
遞減,在(3,+
)遞增
∴
的極大值為
…………8分
(3)![]()
①若
上單調(diào)遞增。∴滿足要求。…10分
②若![]()
∵
恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
時,不合題意。綜上所述,實數(shù)
的取值范圍是![]()
已知冪函數(shù)
滿足
。
(1)求實數(shù)k的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù)
的解析式;
(2)對于(1)中的函數(shù)
,試判斷是否存在正數(shù)m,使函數(shù)
,在區(qū)間上的最大值為5。若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由。
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的最值的運用。第一問中利用,冪函數(shù)
滿足
,得到![]()
因為
,所以k=0,或k=1,故解析式為![]()
(2)由(1)知,
,
,因此拋物線開口向下,對稱軸方程為:
,結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸,和開口求解最大值為5.,得到![]()
(1)對于冪函數(shù)
滿足
,
因此
,解得
,………………3分
因為
,所以k=0,或k=1,當(dāng)k=0時,
,
當(dāng)k=1時,
,綜上所述,k的值為0或1,
!6分
(2)函數(shù)
,………………7分
由此要求
,因此拋物線開口向下,對稱軸方程為:
,
當(dāng)
時,
,因為在區(qū)間
上的最大值為5,
所以
,或
…………………………………………10分
解得
滿足題意
已知
,函數(shù)![]()
(1)當(dāng)
時,求函數(shù)
在點(1,
)的切線方程;
(2)求函數(shù)
在[-1,1]的極值;
(3)若在
上至少存在一個實數(shù)x0,使
>g(xo)成立,求正實數(shù)
的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。(1)中
,那么當(dāng)
時,
又
所以函數(shù)
在點(1,
)的切線方程為
;(2)中令
有 ![]()
![]()
對a分類討論
,和
得到極值。(3)中,設(shè)
,
,依題意,只需
那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵
∴ ![]()
∴ 當(dāng)
時,
又
∴ 函數(shù)
在點(1,
)的切線方程為
--------4分
(Ⅱ)令
有 ![]()
![]()
①
當(dāng)
即
時
|
|
(-1,0) |
0 |
(0, |
|
( |
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故
的極大值是
,極小值是![]()
②
當(dāng)
即
時,
在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,則
的極大值為
,無極小值。
綜上所述
時,極大值為
,無極小值
時 極大值是
,極小值是
----------8分
(Ⅲ)設(shè)
,![]()
對
求導(dǎo),得![]()
∵
,
![]()
∴
在區(qū)間
上為增函數(shù),則![]()
依題意,只需
,即
解得
或
(舍去)
則正實數(shù)
的取值范圍是(![]()
,
)
設(shè)函數(shù)
.
(I)求
的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)0<a<2時,求函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值.
【解析】第一問定義域為真數(shù)大于零,得到
.
.
令
,則
,所以
或
,得到結(jié)論。
第二問中,
(
).
.
因為0<a<2,所以
,
.令
可得
.
對參數(shù)討論的得到最值。
所以函數(shù)
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù).
(I)定義域為
. ………………………1分
.
令
,則
,所以
或
. ……………………3分
因為定義域為
,所以
.
令
,則
,所以
.
因為定義域為
,所以
. ………………………5分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
,
單調(diào)遞減區(qū)間為
.
………………………7分
(II)
(
).
.
因為0<a<2,所以
,
.令
可得
.…………9分
所以函數(shù)
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù).
①當(dāng)
,即
時,
在區(qū)間
上,
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù).
所以
. ………………………10分
②當(dāng)
,即
時,
在區(qū)間
上為減函數(shù).
所以
.
綜上所述,當(dāng)
時,
;
當(dāng)
時,![]()
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