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(2)證明:(1+)(1+)-(1+)＜e (n∈N*.n≥2,其中無理數(shù)e=2.71828-) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（1）若任意直線l過點F（0，1），且與函數(shù)f（x）=
1
4
x2的圖象C交于兩個不同的點A，B，分別過點A，B作C的切線，兩切線交于點M，證明：點M的縱坐標(biāo)是一個定值，并求出這個定值；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，g（x）=alnx（a＞o）求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：
ln24
24
+
ln34
34
+
ln44
44
+…
lnn4
n4
＜
2
e
，（其中e為無理數(shù)，約為2.71828）．

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（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=（）的兩^E值分別為λ1=-1和λ2=4．
（I）求實數(shù)的值；
（II ）求直線x-2y-3=0在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點O為極點x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的參數(shù)方程為，
（a為餓），曲線D的鍵標(biāo)方程為ρsin（θ-）=-．
（I ）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；
（II）判斷曲線c與曲線D的交點個數(shù)，并說明理由．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b為正實數(shù)．
（I）求證：+≥a+b；
（II）利用（I）的結(jié)論求函數(shù)y=+（0＜x＜1）的最小值．

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事實證明：總存在正實數(shù)a，b（a＜b）使得ab=ba，請你寫出所有符合條件的a的取值范圍是
（1，e）
（1，e）
．

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g（x）=ax-
b
x
-2f（x），其中f（x）=lnx，且g（e）=be-
a
e
-2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求a與b的關(guān)系；
（2）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）證明：①f（x）≤x-1；②
ln2
22
+
ln3
32
+…
lnn
n2
＜
2n2-n-1
4(n+1)
（n∈N，n≥2）．

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g（x）=ax-數(shù)學(xué)公式-2f（x），其中f（x）=lnx，且g（e）=be-數(shù)學(xué)公式-2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求a與b的關(guān)系；
（2）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）證明：①f（x）≤x-1；②數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式+…數(shù)學(xué)公式＜數(shù)學(xué)公式（n∈N，n≥2）．

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一、選擇題：

1．C  2．D  3．C  4．A   5．B  6．C  7．B   8．A   9．D  10．A  11．A  12．C

二、填空題：

13．         14． 26   15． －3    16．     17． 3         18．   

19．   20．(0，1) 21．     22．    23．765        24．5  

25．2          26．

三、解答題：

27、解：（1）∵cos3x=4cos3x-3cosx，則=4cos2x-3=2cos2x-1

∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x

=2sin(2x+)-1                            

在2x+=2kπ+時，f(x)取得最大值2-1

即在x=kπ+ (k∈Z)時，f(x)取得最大值2-1 

（2）∵f(x)=2sin(2x+)-1

要使f(x)遞減，x滿足2kπ+≤2x+≤2kπ+

即kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z)

又∵cosx≠0，即x≠kπ+ (k∈Z)               

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    ）
    28、解：（1）p(ξ個正面向上，4-ξ個背面向上的概率，其中ξ可能取值為0，1，2，3，4。
    ∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2
    p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2?a(1-a)=
(1-a)

    p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+
(1-)2?
a2=(1+2a-2 a2)
    p(ξ=3)= ()2a(1-a)+
(1-)
a2=
    p(ξ=4)= ()2
 a2=a2             

    (2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)
    則p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)-
=－≥0
    由
    ，即a∈[]                

    （3）由（1）知ξ的數(shù)學(xué)期望為
    Eξ=0×（1-a）2+1×
(1-a)+2×
(1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1
    29、解：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根據(jù)面面平行的判定定理
    ∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG 
    （2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
    ∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
    過C作CR⊥EF交EF延長線于R點連GR，根據(jù)三垂線定理知
    ∠GRC即為二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，   
    故二面角G-EF-D的大小為45°。
    （3）Q點為PB的中點，取PC中點M，則QM∥BC，∴QM⊥PC
    在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ         

    30、解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),
    ∵2（）2=?，∴2（x2-9）=x2-9+y2,
    即P點的軌跡方程（1-2）x2+y2=9（1-2）
    當(dāng)1-2＞0，且≠0，即∈（-1，0）時，有+=1，
    ∵1-2＞0，∴＞0，∴x2≤9。
    ∴P點的軌跡是點A1，（-3，0）與點A2（3，0） 

    當(dāng)=0時，方程為x2+y2=9，P的軌跡是點A1（-3，0）與點A2（3，0）
    當(dāng)1-2＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，方程為-=1，P點的軌跡是雙曲線。
    當(dāng)1-2=0，即=±1時，方程為y=0，P點的軌跡是射線。
    （2）過點A1且斜率為1的直線方程為y=x+3,
    當(dāng)=時，曲線方程為+=1，
    由（1）知，其軌跡為點A1（-3，0）與A2（3，0）
    因直線過A1（-3，0），但不過A2（3，0）。
    所以，點B不存在。
    所以，在直線x=-9上找不到點C滿足條件。         

    31、解：（理）（1）f′(x)=－+a=
    (i)若a=0時，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0
    ∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減。    
    （ii）若時，f′(x)≤0對x∈R恒成立。
    ∴f(x)在R上單調(diào)遞減。                          

    (iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜
    由f′(x)＜0可得x＞或x＜
    ∴f(x)在[，]單調(diào)遞增
    在（-∞，]，[上單調(diào)遞減。
    綜上所述：若a≤－1時，f(x)在（－∞，+∞）上單調(diào)遞減。
    （2）由（1）當(dāng)a=－1時，f(x)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減。
    當(dāng)x∈（0，+∞）時f(x)＜f(0)
    ∴l(xiāng)n（1+x2）－x＜0 即ln（1+x2）＜x
    ∴l(xiāng)n[（1+）（1+）……(1+)]
    =ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+
    ＜=1-+-+…+=1-＜1
    ∴（1+）（1+）……(1+)＜e   
    32、解：（1）由題可知：與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，
    ，  （2）因為點在函數(shù)的圖像上，所以，  
    在上式中令可得：，又因為：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化為：
①
    （3）直線的方程為：，，
    在其中令，得，又因為在ｙ軸上的截距為，所以，
    =，結(jié)合①式可得：           
②
    由①可知：當(dāng)自然數(shù)時，，，
    兩式作差得：．
    結(jié)合②式得：
        ③
    在③中，令，結(jié)合，可解得：，
    又因為：當(dāng)時，，所以，舍去，得．
    同上，在③中，依次令，可解得：，．
    猜想：．下用數(shù)學(xué)歸納法證明．       
    （1）時，由已知條件及上述求解過程知顯然成立．
    （2）假設(shè)時命題成立，即，則由③式可得：
    把代入上式并解方程得：

    由于，所以，，所以，
    符合題意，應(yīng)舍去，故只有．
    所以，時命題也成立．
    綜上可知：數(shù)列的通項公式為    
     
     
    		
    
	
	

    
	







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