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如圖9-37，兩條異面直線AB、CD與三個(gè)平行平面a 、b 、g 分別相交于A、E、B，及C、F、D，又AD、BC與平面b 的交點(diǎn)為H、G．求證：EHFG為平行四邊形．

設(shè)是兩個(gè)不共線的非零向量.

（1）若=，=，=，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；

（2）試求實(shí)數(shù)k的值，使向量和共線. (本小題滿分13分)

【解析】第一問(wèn)利用=（）+（）+==得到共線問(wèn)題。

第二問(wèn)，由向量和共線可知

存在實(shí)數(shù)，使得=()

=，結(jié)合平面向量基本定理得到參數(shù)的值。

解：（1）∵=（）+（）+

==    ……………3分

∴      ……………5分

又∵∴A，B，D三點(diǎn)共線   ……………7分

（2）由向量和共線可知

存在實(shí)數(shù)，使得=()   ……………9分

∴=   ……………10分

又∵不共線

∴  ……………12分

解得

 

據(jù)中新網(wǎng)2009年4月9日電，日本鹿兒島縣櫻島昭和火山口當(dāng)?shù)貢r(shí)間9日下午3點(diǎn)31分發(fā)生中等規(guī)模爆發(fā)性噴火，鹿兒島市及周邊飛揚(yáng)了大量火山灰．火山噴發(fā)停止后，為測(cè)量的需要距離噴口中心50米內(nèi)的圓環(huán)面為第1區(qū)、50米至100米的圓環(huán)面為第2區(qū)、100米至150米的圓環(huán)面為第3區(qū)、…、第50（n-1）米至50n米的圓環(huán)面為第n區(qū)，…，現(xiàn)測(cè)得第1區(qū)火山灰平均每平方米為1噸、第2區(qū)每平方米的平均重量較第1區(qū)減少2%、第3區(qū)較第2區(qū)又減少2%，…，以此類推．
（1）若第n區(qū)每平方米的重量為a_n千克，請(qǐng)寫(xiě)出a_n的表達(dá)式；
（2）第幾區(qū)內(nèi)的火山灰總重量最大？
（3）該火山這次噴發(fā)出的火山灰的總重量為多少萬(wàn)噸（π 取3，結(jié)果精確到萬(wàn)噸）？

三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

【解析】第一問(wèn)利連結(jié)，，∵M(jìn),N是AB，的中點(diǎn)∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．      ----------4分

⑵中年∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∴四邊形是正方形．∴．∴．連結(jié)，．

∴，又N中的中點(diǎn)，∴．

∵與相交于點(diǎn)C，∴MN平面．      --------------9分

⑶中由⑵知MN是三棱錐M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．．得到結(jié)論。

⑴連結(jié)，，∵M(jìn),N是AB，的中點(diǎn)∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．   --------4分

⑵∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，

∴四邊形是正方形．∴．

∴．連結(jié)，．

∴，又N中的中點(diǎn)，∴．

∵與相交于點(diǎn)C，∴MN平面．      --------------9分

⑶由⑵知MN是三棱錐M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．