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證明不等式: [必做題]第22題.第23題.每題10分.共計(jì)20分. 請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

  （Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

  （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，是前項(xiàng)和，證明：．

【解析】本試題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解函數(shù)給定區(qū)間的最值問題，以及能結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和，同時(shí)能構(gòu)造函數(shù)證明不等式的數(shù)學(xué)思想。是一道很有挑戰(zhàn)性的試題。

 

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把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象．　

(1)求函數(shù)的解析式； (2)若，證明：.

【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運(yùn)用函數(shù)思想證明不等式。第一問中，利用設(shè)上任意一點(diǎn)為（x,y）則平移前對應(yīng)點(diǎn)是（x+1,y-2）代入　，便可以得到結(jié)論。第二問中，令，然后求導(dǎo)，利用最小值大于零得到。

(1)解：設(shè)上任意一點(diǎn)為（x,y）則平移前對應(yīng)點(diǎn)是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分

(2) 證明：令，……6分

則……8分

,∴,∴在上單調(diào)遞增．……10分

故，即

 

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已知函數(shù)的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">

由，得

當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

x

-

0

+

極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當(dāng)時(shí)，取，有，故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí)，令，即

令，得

①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當(dāng)時(shí)，，對于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí)，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當(dāng)時(shí)，

                      

                      

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上，，

 

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由下列不等式：，，， ，，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明。

【解析】本試題主要考查了合情推理的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是觀察到表達(dá)式的特點(diǎn)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重要的數(shù)學(xué)思想。

 

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集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個(gè)不同的子集，對于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個(gè)Ai至少含有三個(gè)元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=
0   當(dāng)i∉AJ時(shí)
1        當(dāng)i∈AJ時(shí)  
．
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個(gè)數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為f（n），數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：cn=5an+1，證明不等式：
5cmn
-
cmcn
＞1對任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
1 2 3 4 5 6 7
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0

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第 一 部 分

 

一、填空題：

1．        2．          3．1            4．16

5．                                 6．               7．64           8．

9．25                                 10．①④            11．        12．

13．                          14．

二、解答題：

15．解：（Ⅰ）依題意：，

即，解之得，（舍去）   …………………7分

（Ⅱ），∴  ，，  ………………………9分

∴    …………………………………11分

．      ……………………………………………14分

16．解：（Ⅰ）因?yàn)橹饕晥D和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱．

連BC1交B1C于O，則O為BC1的中點(diǎn)，連DO。

則在中，DO是中位線，

∴DO∥AC1．                ………………………………………………………4分

∵DO平面DCB1，AC1平面DCB1，

∴AC1∥平面CDB1．           ………………………………………………………7分

（Ⅱ）由已知可知是直角三角形，．

∵  ，

∴  平面，平面，

∴   。

∵   ，

∴  平面，

又平面，

∴  。

17．解：（Ⅰ）由題意知：，

一般地： ，…4分

∴  （）。……………………………………7分

（Ⅱ）2008年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額為：

 ，…………………………………………10分

2009年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金額為萬美元， ………12分

與150萬美元相比少了約14萬美元。     …………………………………………14分

答：新聞 “2009年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)150萬美元”不真，是假新聞�！�15分

18．解：（Ⅰ）圓與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，

，，故，    …………………………………………2分

所以，

橢圓方程是：               …………………………………………5分

（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，依題意，

即,

,

,

,

 

（Ⅲ）直線的方程是，…………………………………………………6分

圓D的圓心是，半徑是，……………………………………………8分

設(shè)MN與PD相交于，則是MN的中點(diǎn)，且PM⊥MD，

……10分

當(dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，有最小值，

最小值即是點(diǎn)到直線的距離是，…………………12分

所以的最小值是。  ……………………………15分

 

19．解：（Ⅰ）點(diǎn)的坐標(biāo)依次為，，…，

，…，           ……………………………2分

則，…，

若共線；則，

即，

即， ……………………………4分

，

，

所以數(shù)列是等比數(shù)列。          ……………………………………………6分

（Ⅱ）依題意，

，

兩式作差，則有：，   ………………………8分

又，故，   ……………………………………………10分

即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；此數(shù)列的前三項(xiàng)依次為

，

由，可得，

故，或，或。           ………………………………………12分

數(shù)列的通項(xiàng)公式是，或，或。    ………14分

由知，時(shí)，不合題意；

時(shí)，不合題意；

時(shí)，；

所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式是。  ……………………………………16分

 

20．解：（Ⅰ）函數(shù)定義域，

，    ……………………………………………4分

（Ⅱ），由（Ⅰ）

，，

，單調(diào)遞增，

所以。

設(shè)，

則，

即，也就是。

所以，存在值使得對一個(gè)，方程都有唯一解。………10分

（Ⅲ），

，

以下證明，對的數(shù)及數(shù)，不等式不成立。

反之，由，亦即成立，

因?yàn)?sub>，，

但，這是不可能的。這說明是滿足條件的最小正數(shù)。

這樣不等式恒成立，

即恒成立，

∴  ，最小正數(shù)=4 �！�16分

 

 第二部分（加試部分）

21．（A）解：AD2=AE?AB，AB=4，EB=3      ……………………………………4分

△ADE∽△ACO，                ……………………………………………8分

CD=3                         ……………………………………………10分

（B）解：（Ⅰ），

所以點(diǎn)在作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)是。…………………………5分

（Ⅱ），

設(shè)是變換后圖像上任一點(diǎn)，與之對應(yīng)的變換前的點(diǎn)是，

則，

也就是，即，

所以，所求曲線的方程是。……………………………………………10分

（C）解：由已知圓的半徑為，………4分

又圓的圓心坐標(biāo)為，所以圓過極點(diǎn)，

所以，圓的極坐標(biāo)方程是�！�10分

（D）證明：

＜            ……………………………………6分

=2－

＜2                              ……………………………………10分

 

 

 

22．解：（Ⅰ）∵，∴，

∴切線l的方程為，即．……………………………………………4分

（Ⅱ）令＝0，則．令＝0，則x＝1．

 ∴A＝＝＝．………………10分

23．解：（Ⅰ）記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，則

P(A)=

答：該生在前兩次測試中至少有一次通過的概率為。 …………………………4分

（Ⅱ）參加測試次數(shù)的可能取值為2，3，4，

      ，

    ，

      ，    ……………………………………………7分

        故的分布列為：

2

3

4

     ……………………………………………10分

　

 

 


同步練習(xí)冊答案