題目列表(包括答案和解析)
必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
第Ⅰ卷 選擇題（共50分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分）
1、設(shè)全集U={
是不大于9的正整數(shù)}，
{1，2，3 }，
｛3，4，5，6｝則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A.｛1，2，3，4，5，6｝ B. ｛7，8，9｝
C.｛7，8｝ D. ｛1，2，4，5，6，7，8，9｝
2、計算復數(shù)(1－i)2－
等于（ ）
A.0 B.2 C. 4i D. －4i
答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卷上。
| 2 | 3 |
（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分
已知曲線
的方程為
，
、
為曲線上的兩點，
為坐標原點，且有
．
（1）若
所在直線的方程為
，求
的值；
（2）若點為曲線上任意一點，求證：為定值；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，用類比或推廣的方法對新的圓錐曲線
寫出一個命題，并對該命題加以證明．
一、選擇題（每小題5分，共12小題）
BADAC ABBCB CD
二、填空題（每小題4分，共4小題）
13．0
14．n+(n+1)+…+(3n－2)=(2n－1)2
15．256+64π
16．①③
三、解答題
（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，
∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分
∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB=.…………………………………………………………………5分
∵0<B<π，∴B=.…………………………………………………………6分
（II）=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分
=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）……………………………………9分
設(shè)sinA=t，則t∈.
則=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈.…………………………10分
∵k>1，∴t=1時，取最大值.
依題意得，－2+4k+1=5，∴k=.………………………………………………12分
（18）（I）證明：
連接B1C，與BC1相交于O，連接OD
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中點.
又D是AC的中點，
∴OD//AB1.………………………………………………2分
∵AB1面BDC1，OD面BDC1，
∴AB1//面BDC1.…………………………………………4分
（II）解：如力，建立空間直角坐標系，則
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）……………………5分
即.…………6分
易知=(0，3，0)是面ABC的一個法向量.
.…………………………8分
∴二面角C1―BD―C的余弦值為.………………………………9分
（III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.
則
∴方程組無解.
∴假設(shè)不成立.……………………………………………………11分
∴側(cè)棱AA1上不存在點P，使CP⊥面BDC1.…………………12分
19．（I）解：設(shè)答對題的個數(shù)為y，得分為ξ,y=0，1，2，4
∴ξ=0，2，4，8…………………………………………………………1分
……………………………………………………3分
…………………………………………5分
…………………………………………7分
………………………………………………9分
則ξ的分布列為
ξ
0
2
4
8
P
（II）Eξ=0×+2×+4×+8×=2
答：該人得分的期望為2分………………………………12分
20．解：
（I）由題意，令y=0，x<0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0時，f(x)>1.
∴1－f(0)=0. f(0)=1.…………………………………………………………2分
適合題意的f(x)的一個解析式為f(x)=()x.………………………………4分
（II）①由遞推關(guān)系知f(an+1)?f(－2－an)=1，即f(an+1－2－an)=f(0).
∵f(x)的R上單調(diào)，∴an+1－an=2，（n∈N*），…………………………6分
又a1=1，故an=2n－1.……………………………………………………7分
②bn=,Sn=b1+b2+…+bn=+()3+…+()2n－1
欲比較Sn與的大小，只需比較4n與2n+1的大小.
由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.……………………10分
下用數(shù)學歸納法證明
（i）當n=1時，41>2×1+1成立
（ii）假設(shè)當n=k時命題成立，即4k>2k+1
當n=k+1時，4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，
說明當n=k+1時命題也成立.
由（i）（ii）可知，4n>2n+1 對于n∈N*都成立.
故Sn>.………………………………………………………………12分
注：證明4n>2n+1，除用數(shù)學歸納法證明以外，還可用其它方法證明，
如：4n=(1+3)n=1+
21．解：（I）定圓B的圓心坐標B（－，0），半徑r=6，
因為動圓P與定圓B內(nèi)切，所以|PA|+|PB|=6.
所以動圓圓心P的軌跡是以B、A為焦點，長軸長為6的橢圓.
設(shè)橢圓的方程為
則2a=6，a=3，c=
∴b2=a2－c2=4.
∴橢圓的方程為.……………………4分
（II）設(shè)M(x1，y1)，N（x2，y2），
則由
（1）當λ=1時，M與N重合，，滿足條件。
（2）當.
綜合可得λ的取值范圍是[，5].………………………………12分
22．解：
（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0，
即…………………………………………2分
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x.……………………………………………………4分
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
當－1<x<1時，f′(x)<0，故f(x)在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，
fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分
∵對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………………………8分
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲線方程為y=x3－3x，∴點A（1，m）不在曲線上.
設(shè)切點為M（x0，y0），則點M的坐標滿足
因，故切線的斜率為
，
整理得.
∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，
∴關(guān)于x0方程=0有三個實根.……………………10分
設(shè)g(x0)= ，則g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.
∴函數(shù)g(x0)= 的極值點為x0=0，x0=1………………12分
∴關(guān)于x0方程=0有三個實根的充要條件是
，解得－3<m<－2.
故所求的實數(shù)a的取值范圍是－3<m<－2.……………………14分
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