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已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù)．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分，求弦AB所在的直線方程；

（3）以曲線的左頂點為圓心作圓：，設圓與曲線交于點與點，求的最小值，并求此時圓的方程.

【解析】第一問利用（1）過點作直線的垂線，垂足為D.

代入坐標得到

第二問當斜率k不存在時，檢驗得不符合要求；

當直線l的斜率為k時，；，化簡得

第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱，設，， 不妨設．

由于點M在橢圓C上，所以．

由已知，則

，

由于，故當時，取得最小值為．

計算得，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓T的方程為：

 

設和是拋物線上的兩個動點，且在和處的拋物線切線相互垂直，已知由及拋物線的頂點所成的三角形重心的軌跡也是一拋物線，記為．對重復以上過程，又得一拋物線，余類推．設如此得到拋物線的序列為，， ，若拋物線的方程為，經(jīng)專家計算得，

，                      ，

，   ，        .

則         ．:Z_x

 

(理)如圖a所示，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，M為動點，且,= .過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁．又動點T滿足=+ ，其軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(2)已知點A(5，0)、B(1，0)，過點A作直線交曲線C于兩個不同的點P、Q，△BPQ的面積S是否存在最大值?若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．

(文)如圖b所示，線段AB過x軸正半軸上一點M(m，0)(m＞0)，端點A，B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸、過A，O，B三點作拋物線．

(1)求拋物線方程；

(2)若tan∠AOB=-1，求m的取值范圍．

第21題圖

已知在橢圓中，F(xiàn)₁（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點和上頂點，點O是橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（Ⅱ）如圖所示，當點P在第二象限，以OP為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于，求橢圓的標準方程．