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(本小題滿分12分)
一個(gè)袋子內(nèi)裝有若干個(gè)黑球，個(gè)白球，個(gè)紅球（所有的球除顏色外其它均相同），從中任取個(gè)球，每取得一個(gè)黑球得分，每取一個(gè)白球得分，每取一個(gè)紅球得分，已知得分的概率為，用隨機(jī)變量X表示取個(gè)球的總得分.
（Ⅰ）求袋子內(nèi)黑球的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）求X的分布列.

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武漢市教育科學(xué)研究院命制                                             2009.4.16

一、選擇題

1．B       2．C       3．D      4．A      5．B       6．C       7．A      8．A      9．B       10．D

二、填空題

11．7             12．（2，3）         13．          14．        15．

三、解答題

16．解：（1）由

由知：，于是可知

得.………………………………………………………（6分）

（2）由及

而在上單調(diào)遞增

可知滿足：時(shí)單調(diào)遞增

于是在定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………（12分）

17．解：（1）摸球3次就停止，說明前三次分別都摸到了紅球，

則……………………………………………………………（5分）

（2）隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3.

則，

，

.

隨機(jī)變量的分布列是

0

1

2

3

P

的數(shù)學(xué)期望為：

.………………………（12分）

18．解：（1）在四棱錐中，底面，則

若，則和面內(nèi)相交的兩直線均垂直

面，故.

在底面的平行四邊形中，令

在中，.

于是

在中，由可知：

求得或

依題意，于是有.……………………………………………（6分）

（2）過點(diǎn)作，連結(jié)

.

又，面

面

由三垂線定理知：為所求二面角的平面角

過點(diǎn)

易知

又

在中

故所求二面角的大小為45.………………………………………………（12分）

19．解：（1）

故軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

設(shè)其方程為：

.

故軌跡方程為.…………………………………………（6分）

（2）由

方程有兩個(gè)正根.

設(shè)，由條件知.

而

即

整理得，即

由（1）知，即顯然成立.

由（2）、（3）知

而.

.

故的取值范圍為……………………（13分）

20．解：（1）由，

求導(dǎo)數(shù)得到：

，故在有唯一的極值點(diǎn)

，且知

故上有兩個(gè)不等實(shí)根需滿足：

故所求m的取值范圍為.………………………………………（6分）

（2）又有兩個(gè)實(shí)根

則

兩式相減得到：

于是

，故

要證：，只需證：

只需證：

令，則

只需證明：在上恒成立.

又則

于是由可知.故知

上為增函數(shù)，則

從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.……………

……………………………………………………………（13分）

21．解：（1）經(jīng)過計(jì)算可知：

.

求得.…………………………………………（4分）

（2）由條件可知：.…………①

類似地有：.…………②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：.…………………………………………（8分）

（3）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù).

則由（2）可知：…………③

由，及可知.

當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，利用，結(jié)合③式，反復(fù)遞推，可知，，，，…均為整數(shù).

當(dāng)時(shí)，③變?yōu)椤�……�?/p>

我們用數(shù)學(xué)歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù)

時(shí)，結(jié)論顯然成立，假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，這時(shí)為偶數(shù)，為整數(shù)，故為偶數(shù)，為整數(shù)，所以時(shí)，命題成立.

故數(shù)列是整數(shù)列.

綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）