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17． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本題12分）已知向量

    （1）求cos ()的值；

    （2）若0＜＜，＜＜0，且sin=，求sin．

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（本題12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，a2 = 3，a5 = 6，數(shù)列的前n項(xiàng)和是Tn，且Tn +．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和Mn；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）記cn =，求的前n項(xiàng)和Sn．

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（本題12分）在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1。（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；（2）求二面角C-AB-D的大小。

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（本題12分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合，

（1）求；  （2）若，求的取值范圍。

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（本題12分）某研究所計(jì)劃利用“神七”宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載實(shí)驗(yàn)，計(jì)劃搭載新產(chǎn)品A、B，該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實(shí)驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)產(chǎn)生收益來決定具體安排，通過調(diào)查，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

產(chǎn)品A（件）

產(chǎn)品B（件）

研制成本、搭載費(fèi)用之和（萬元）

20

30

計(jì)劃最大資金額300萬元

產(chǎn)品重量（千克）

10

5

最大搭載重量110千克

預(yù)計(jì)收益（萬元）

80

60

如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進(jìn)行搭載，才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大，最大收益是多少？

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一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分）

1．A    2．B    3．C    4．A    5．D    6．C    7．B    8．C    9．A

10．B   11．（理）C（文）B       12．D

二、填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分）

13．                           14．②③                 15．47                    16．□

三、解答題（本大題共6小題，共計(jì)76分）

17．解：

   （1）依題意函數(shù)的圖象按向量平移后得

                                                ………………………2分

       即=                                                ………………………4分

       又

       比較得a=1，b=0                                                                  ………………………6分

   （2）

       =                                                             ………………………9分

      

      

       ∴的單調(diào)增區(qū)間為[，]          ……………………12分

18．解：

   （1）設(shè)連對(duì)的個(gè)數(shù)為y，得分為x

       因?yàn)閥=0，1，2，4，所以x=0，2，4，8.

      

x

0

2

4

8

   

       于是x的分布列為

  • 
   
    
    
    
    
    
    ……9分
     
     
       （2）Ex=0×+2×+4×+8×=2
           即該人得分的期望為2分。                                                     ……………………12分
       （文）
       （1）從口袋A中摸出的3個(gè)球?yàn)樽罴衙蚪M合即為從口袋A中摸出2個(gè)紅球和一個(gè)黑球
           其概念為                                                     ……………………6分
       （2）由題意知：每個(gè)口袋中摸球?yàn)樽罴呀M合的概率相同，從5個(gè)口袋中摸球可以看成5
           次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故所求概率為………………………12分
    19．解法一：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1
           所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建
           立空間直角坐標(biāo)系D―xyz，則
           A（a，0，0）、B（a，2a，0）、
           C（0，2a，0）、A1（a，0，a）、
           D1（0，0，a）。E、P分別是BC、A1D1
           的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)
           ∴……………………………………2分
      
（1）⊥面ADD1A1
           而=0，∴⊥，又∵M(jìn)N面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1；………4分
      
（2）設(shè)面PAE的法向量為，又
           則又
           ∴=（4，1，2），又你ABCD的一個(gè)法向量為=（0，0，1）
           ∴
           所以二面角P―AE―D的大小為                        ………………………8分
      
（3）設(shè)為平面DEN的法向量⊥，⊥
           又=（），=（0，a，），（，0，a）
           ∴所以面DEN的一個(gè)法向量=（4，-1，2）
           ∵P點(diǎn)到平面DEN的距離為
           ∴
           
           所以                                              ……………………12分
           解法二：
       （1）證明：取CD的中點(diǎn)為K，連接
           ∵M(jìn)，N，K分別為AE，CD1，CD的中點(diǎn)
           ∴MK∥AD，ND∥DD1，∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
           ∴面MNK∥面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1，                     ………………………4分
       （2）設(shè)F為AD的中點(diǎn)，∵P為A1D1的中點(diǎn)
           ∴PF∥DD1，PF⊥面ABCD
           作FH⊥AE，交AE于H，連結(jié)PH，則由三垂
           線定理得AE⊥PH，從而∠PHF為二面角
           P―AE―D的平面角。
           在Rt△AAEF中，AF=，EF=2，AE=，
           從而FH=
           在Rt△PFH中，tan∠PHF=
           故：二面角P―AE―D的大小為arctan
       （3）
           作DQ⊥CD1，交CD1于Q，
           由A1D1⊥面CDD1C1，得A1D1⊥DQ，∴DQ⊥面BCD1A1。
           在Rt△CDD1中，
           ∴  ……………………12分
    20．解：（理）
      
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+）
           當(dāng)a=-2e時(shí)，            ……………………2分
           當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下：
    （0，）
    （，+）
    ―
    0
    ＋
    ㄋ
    極小值
    ㄊ
           由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）
           單調(diào)遞增區(qū)間為（，+）
           極小值是（）=0                                                           ……………………6分
      
（2）由           ……………………7分
           又函數(shù)為[1，4]上單調(diào)減函數(shù)，
           則在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。
           即在,[1，4]上恒成立                                           ……………………10分
           又=在[1，4]上為減函數(shù)
           ∴的最小值為
           ∴                                                                            ……………………12分
      
（文）（1）∵函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞
           減，
           ∴x=1時(shí)，取得極大值，
           ∴
           ∴4-12+2a=0a=4                                                                                      ………………………4分
       （2）A（x0，f（x0））關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2- x0，f（x0）
           
           =
           ∴A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)的圖象上            …………………8分
       （3）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程
           恰有3個(gè)不等實(shí)根，
           
           ∵x=0是其中一個(gè)根，
           ∴方程有兩個(gè)非零不等實(shí)根
                                           ……………………12分
    21．解：（理）（1）由已知得：
                   
           ∵                                                     ①…………………2分
           ∴                                                                 ②
           ②―①
           即
           又
           ∴                                                                      ……………………5分
           ∴{an}成等差數(shù)列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分
      
（2）∵
           ∴
           ∴                   …………………8分
           兩式相減
           
           ∴                                                          ……………………10分
           ∴               ……………………12分
       （文）（1）由已知得：
           
           ∴
           ∵                                                     ①…………………2分
           ∴                                                                 ②
           ②―①
           即
           又
           ∴                                                                      ……………………5分
           ∴{an}成等差數(shù)列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分
       （2）∵
           ∴
           ∴                   …………………8分
           兩式相減
           
           ∴                                                          ……………………10分
           ∴               ……………………12分
    22．解：（1）
           設(shè)M（x，y）是曲線C上任一點(diǎn)，因?yàn)镻M⊥x軸，
           所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，3y）                                                  …………………2分
           點(diǎn)P在橢圓，所以
           因此曲線C的方程是                                           …………………5分
       （2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件
           所以設(shè)直線l的方程為與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），N點(diǎn)所在直線方
           程為
           ，由得
                                                   ……………………6分
           由△=………………8分
           ∵,所以四邊形OANB為平行四邊形              …………………9分
           假設(shè)存在矩形OANB，則
           
           
           所以
           即                                                                   ……………………11分
           設(shè)N（），由，得
           ，
           即N點(diǎn)在直線
           所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為 ……………………14分