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(Ⅰ) 點(diǎn)M的軌跡方程; (Ⅱ) 的最小值.[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)] 題號(hào)滿分 平均分 難度 理(20) 12 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)先閱讀短文,再回答短文后面的問題.
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
下面根據(jù)拋物線的定義,我們來求拋物線的方程.
如上圖,建立直角坐標(biāo)系xoy,使x軸經(jīng)過點(diǎn)F且垂直于直線l,垂足為K,并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合.設(shè)|KF|=p(p>0),那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(
p
2
,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-
p
2

設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)M到l的距離為d,由拋物線的定義,拋物線就是滿足|MF|=d的點(diǎn)M的軌跡.
∵|MF|=
(x-
p
2
)
2
+y2
,d=|x+
p
2
|∴
(x-
p
2
)
2
+y2
=|x+
p
2
|
將上式兩邊平方并化簡(jiǎn),得y2=2px(p>0)①
方程①叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,坐標(biāo)是(
p
2
,0),它的準(zhǔn)線方程是x=-
p
2

一條拋物線,由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同,方程也不同.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它的幾種形式:y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.這四種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程列表如下:
標(biāo)準(zhǔn)方程  交點(diǎn)坐標(biāo)  準(zhǔn)線方程 
 y2=2px(p>0)  (
p
2
,0
 x=-
p
2
 y2=-2px(p>0)  (-
p
2
,0
 x=
p
2
 x2=2py(p>0)  (0,
p
2
 y=-
p
2
 x2=-2py(p>0)  (0,-
p
2
 y=-
p
2
解答下列問題:
(1)①已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=8x,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
 
,準(zhǔn)線方程是
 

②已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-6),則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 

(2)點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1,求點(diǎn)M的軌跡方程.
(3)直線y=
3
x+b
經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B,求線段AB的長(zhǎng).

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6、與半徑為3cm的定圓⊙O外切,且半徑為2cm的動(dòng)圓的圓心為P,則點(diǎn)P的軌跡是
以O(shè)為圓心,5cm長(zhǎng)為半徑的圓

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在茗茗總結(jié)的下列結(jié)論中,不正確的是(  )
A、點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是線B、線段有兩個(gè)端點(diǎn)C、射線有一個(gè)端點(diǎn)D、直線有無數(shù)個(gè)端點(diǎn)

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如圖.矩形ABCD中,AB=1,BC=2,將矩形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 得矩形A′B′C′D,再將矩形A′B′C′D繞C′順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形A″B″C′D′.
(1)求兩次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)A經(jīng)歷的軌跡的總長(zhǎng)度;
(2)求陰影部分①的面積;
(3)求陰影部分②的面積(在直角三角形中,如果有一條直角邊是斜邊的一半,那么它所對(duì)的角等于30度.).

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先閱讀短文,再回答短文后面的問題.
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
下面根據(jù)拋物線的定義,我們來求拋物線的方程.
如上圖,建立直角坐標(biāo)系xoy,使x軸經(jīng)過點(diǎn)F且垂直于直線l,垂足為K,并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合.設(shè)|KF|=p(p>0),那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(數(shù)學(xué)公式,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-數(shù)學(xué)公式
設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)M到l的距離為d,由拋物線的定義,拋物線就是滿足|MF|=d的點(diǎn)M的軌跡.
∵|MF|=數(shù)學(xué)公式,d=|x+數(shù)學(xué)公式|∴數(shù)學(xué)公式=|x+數(shù)學(xué)公式|
將上式兩邊平方并化簡(jiǎn),得y2=2px(p>0)①
方程①叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,坐標(biāo)是(數(shù)學(xué)公式,0),它的準(zhǔn)線方程是x=-數(shù)學(xué)公式
一條拋物線,由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同,方程也不同.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它的幾種形式:y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.這四種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程列表如下:
標(biāo)準(zhǔn)方程 交點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程
y2=2px(p>0)數(shù)學(xué)公式 x=-數(shù)學(xué)公式
y2=-2px(p>0) (-數(shù)學(xué)公式 x=數(shù)學(xué)公式
x2=2py(p>0) (0,數(shù)學(xué)公式 y=-數(shù)學(xué)公式
x2=-2py(p>0) (0,-數(shù)學(xué)公式 y=-數(shù)學(xué)公式
解答下列問題:
(1)①已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=8x,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______,準(zhǔn)線方程是______
②已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-6),則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.
(2)點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1,求點(diǎn)M的軌跡方程.
(3)直線數(shù)學(xué)公式經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B,求線段AB的長(zhǎng).

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