如圖，已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）線段A₁B上是否存在一點P，使得A₁B⊥平面PAC？若存在，確定P點的位置，若不存在，說明理由；
（2）點P在A₁B上，若二面角C-AP-B的大小是arctan2，求BP的長；
（3）Q點在對角線B₁D，使得A₁B∥平面QAC，求．

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1．P，Q分別是棱DD₁，CD的中點．
（1）證明：AC₁⊥平面A₁BD；PQ∥平面A₁BD；
（2）探究：在棱B₁C₁上是否存在點M，使得二面角M-BD-A₁的大小為45°？若存在，則求出B₁M的值；若不存在，請說明理由．