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4第2批 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

第26屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2011年8月12日至23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會(huì)在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：

                        男              女

                           9    15    7  7  8  9  9

                        9  8    16    1  2  4  5  8  9

                  8  6  5  0    17    2  3  4  5  6

                  7  4  2  1    18    0  1

                           1    19

1)根據(jù)以上莖葉圖，完成以下頻率分布表，并畫(huà)出它的頻率分布直方圖。

分組

頻數(shù)

頻率

[150,159)

總計(jì)

2）從所列頻率分布直方圖估計(jì)該批志愿者的平均身高；

3）若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”。如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？

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對(duì)批量（即一批產(chǎn)品中所含產(chǎn)品件數(shù)）很大的一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣質(zhì)量檢查時(shí)，采取隨機(jī)的一件一件地抽取進(jìn)行檢查．若檢查4件產(chǎn)品未發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則停止檢查并認(rèn)為該批產(chǎn)品合格；若在查到第4件或在此之前發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則也停止檢查并認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．假定該批產(chǎn)品的不合格率為
1
10
，檢查產(chǎn)品的件數(shù)為X．
（1）求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求通過(guò)抽樣質(zhì)量檢查，認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格的概率．

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對(duì)批量（即一批產(chǎn)品中所含產(chǎn)品件數(shù)）很大的一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣質(zhì)量檢查時(shí)，采取隨機(jī)的一件一件地抽取進(jìn)行檢查．若檢查4件產(chǎn)品未發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則停止檢查并認(rèn)為該批產(chǎn)品合格；若在查到第4件或在此之前發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則也停止檢查并認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．假定該批產(chǎn)品的不合格率為，檢查產(chǎn)品的件數(shù)為X．
（1）求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求通過(guò)抽樣質(zhì)量檢查，認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格的概率．

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一批產(chǎn)品，有2件次品，4件正品，每次抽一件測(cè)試，直到2件次品都找到為止，假設(shè)抽后不放回．

求第四次測(cè)試后停止的概率．

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某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶(hù)在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出2箱，再?gòu)拿肯渲腥我馊〕?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．設(shè)取出的第一箱中有1件二等品、4件一等品，第二箱中有2件二等品、3件一等品．

(1)求取4件產(chǎn)品中有1件產(chǎn)品是二等品的概率．

(2)若抽檢的4件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶(hù)就拒絕購(gòu)買(mǎi)這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶(hù)拒絕的概率．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

 

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9.； 10.（-1，2）； 11.0；  12.（或）；

13.（1） 或 ；（2）16；（3）.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

14.（本小題滿(mǎn)分12分）

解：（Ⅰ）∵

當(dāng)時(shí)，其圖象如右圖所示.---4分

（Ⅱ）函數(shù)的最小正周期是，其單調(diào)遞增區(qū)間是；由圖象可以看出，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最大值是.--------------7分

（Ⅲ）若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，則有，∴

由，得

∴  ∴ ，，故△ABC為直角三角形. --------------12分

15．（本小題滿(mǎn)分12分）

解：（Ⅰ）

       --------6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

 ----------12分

 

16．（本小題滿(mǎn)分14分）

解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條

側(cè)棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的

正方形，高為CC1=6，故所求體積是

       ------------------------4分

 （Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，

故用3個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，

其拼法如圖2所示. ------------------------6分

   證明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的

正方形，于是

  故所拼圖形成立.---8分

（Ⅲ）方法一：設(shè)B1E，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，

 連結(jié)GA，在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，

連結(jié)HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與

平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角. --------10分

  在Rt△ABG中，，則

，，

，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.---14分

   方法二：以C為原點(diǎn)，CD、CB、CC1所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖3），∵正方體棱長(zhǎng)為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.

 設(shè)向量n=（x，y，z），滿(mǎn)足n⊥，n⊥，

于是，解得.       --------------------12分

  取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為. ----------------14分

 

17．（本小題滿(mǎn)分14分）

解：分別記該考生考上第1、2、3批分?jǐn)?shù)線(xiàn)為事件A、B、C，被相應(yīng)志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 則以上各事件相互獨(dú)立.  -------------------------------------2分

（Ⅰ）“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分?jǐn)?shù)線(xiàn)和僅上第2批分?jǐn)?shù)線(xiàn)兩種情況，故所求概率為

     

.  -----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）設(shè)該考生所報(bào)志愿均未錄取的概率為，則

           

          

         .

     ∴該考生能被錄取的概率為. ------------10分


   

    
    

    
表 二
批次
a
b
第2批
0.9
0.05
第3批
0.048
0.0020
從表中可以看出，該考生被第2批a志愿錄取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被錄取. ------14分
 
18．（本小題滿(mǎn)分14分）
解：（Ⅰ）∵，當(dāng)時(shí)，.
     ∴在[1，3]上是增函數(shù).---------------------------------3分
     ∴當(dāng)時(shí)，≤≤，即 -2≤≤26.
      ∴存在常數(shù)M=26，使得，都有≤M成立.
       故函數(shù)是[1，3]上的有界函數(shù).---------------------------6分
（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1
   ∴  
       令，則.
      當(dāng)時(shí)，有，
∴在[0，+∞上單調(diào)遞減.  
-------------------------------10分
故當(dāng)t=0 時(shí)，有；
又，當(dāng)t→+∞時(shí)，→0，
∴ ，從而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；                              
故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分
 
19．（本小題滿(mǎn)分14分）
解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，
 又拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為：. 
設(shè)雙曲線(xiàn)M的方程為，依題意有，
故，又.
∴雙曲線(xiàn)M的方程為. ------------------------4分
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)
聯(lián)立方程組 消去y得 
，
∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根，
∴
∴，從而有
，.
又，
∴.
① 若，則有 ，即 .
∴當(dāng)時(shí)，使得. -----------------------------8分
② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則必有 ，
因此，當(dāng)m=0時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的k；------------------------------------10分
當(dāng)時(shí)，由 得 
  
∵A、B中點(diǎn)在直線(xiàn)上，
∴ 代入上式得
；又， ∴
將代入并注意到，得 .
∴當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).--14分
如上各題若有其它解法，請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分.