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(本小題滿分12分)設，其中，且（為自然對數(shù)的底）
（1）求的關系；
（2）在其定義域內的單調函數(shù)，求的取值范圍；
（3）求證：（i） 
（ii） （）。

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一、選擇題:

A卷：CCABD    BDCBB    AA

二、填空題：

(13)        (14)    (15)    (16)

三、解答題：

(17)解：

由，知，又，由正弦定理，有

，∴，，……3分

∴  ……………5分

         …………8分

∵，，  ∴，

故所求函數(shù)為，函數(shù)的值域為……………10分

（18）解：

      記顧客購買一件產(chǎn)品，獲一等獎為事件，獲二等獎為事件，不獲獎為事件，則，，

（Ⅰ）該顧客購買2件產(chǎn)品，中獎的概率

  ……………4分

  （Ⅱ）的可能值為0，20，40，100，120，200，其中

        ，，

         ，，

        ，……………8分

的分布列為

                                                                ……………10分

的期望

（元）…………………………………………………………………12分

（19）解法一：

      （Ⅰ）取中點，連結、，則，

       又， ∴，四邊形是平行四邊形，

       ∴，又，，

       ∴ ……………………………………………………4分

      （Ⅱ）連結

        ∵，  ∴，

       又平面平面，∴

      而，  ∴

     作于，則，且，為的中點。

作于，連結，則，

 于是為二面角的平面角�！�………………………8分

∵，，∴，

在正方形中，作于，則

，

∴，∴。

故二面角的大小為…………………………12分

解法二：如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，使軸，、分別在軸、軸上。

（Ⅰ）由已知，，，，，，，

∴， ，，

∵， ∴，

又，∴   ………………………………………4分

（Ⅱ）設為面的法向量，則，且。

∵，，

∴，取，，，則 ……………8分

又為面的法向量，所以，

因為二面角為銳角，所以其大小為…………………………12分

（20）解：

     （Ⅰ）  ……………………………………………………1分

      （1）當時，由，知，在單調遞增
         而，則不恒成立…………………………3分

       （2）當時，令，得

           當時，，單調遞增；時， ，單調遞減，在處取得極大值。

   由于，所以，解得，即當且僅當時恒成立。

綜上，所求的值為   …………………………7分

（Ⅱ）等價于，

下證這個不等式成立。

由（Ⅰ）知，即，……………9分

∴

…………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）曲線方程可寫為，

設，則，又設、、

曲線在點處的切線斜率，則切線方程為，

即，亦即…………………………3分

分別將、坐標代入切線方程得，

∴，

由，得

，  ①

，  ②

∴ ……………7分

∵，∴，

則由②式得。

從而曲線的方程為…………………………8分

（Ⅱ）軸與曲線、交點分別為、，此時……9分

當、不在軸上時，設直線方程為。

若，則、在第一象限，

由，得，由得，

∴………………………………………11分

因為曲線和都關于軸對稱，所以當時，仍有

綜上，題設的為定值…………………………12分

（22）解：

      （Ⅰ）由，且，得

當時， ，解得；

當時，，解得

猜想：……………………………………………………2分

用數(shù)學歸納法證明如下

（1）       當時，命題顯然成立�！�……………………………………3分

（2）       假設當時命題成立，即，那么

         由，得

              于是，當時命題仍然成立………………………………………6分

根據(jù)（1）和（2），對任何，都有…………………………7分

（Ⅱ）當時，，且對于也成立。

因此，

對于，由，得

，……………10分

，

綜上，………………………………………12分