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已知橢圓

x2

25

+

y2

16

=1，過其左焦點(diǎn)F₁作一條直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，D（a，0）為F₁右側(cè)一點(diǎn)，連AD、BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M，N．若以MN為直徑的圓恰好過F₁，求a的值．

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，它的離心率為

3

2

，與直線x+y-1=0相交于M、N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求橢圓方程．

已知橢圓C₁的中心在原點(diǎn)，離心率為

4

5

，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為10．過雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右焦點(diǎn)F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線C₂于M、N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若雙曲線C₂與橢圓C₁有公共的焦點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點(diǎn)A，求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點(diǎn)，求雙曲線C₂的離心率的取值范圍．

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)A（1，0）、B（0，-1），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點(diǎn)M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，且雙曲線C的離心率等于

3

，求雙曲線C的方程．

如圖，點(diǎn)F是橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為

1

2

，三角形ABF的面積為

3 3

2

，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對于x軸上的點(diǎn)P（t，0），橢圓W上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥AQ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)M、N （M、N異于橢圓的左右頂點(diǎn)），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點(diǎn)A，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．