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要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25m，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑，如圖所示，為使水流形狀較漂亮，設(shè)計成水流射到距OA為1m處達到距水面最大高度2.25m，如果不計其他因素，那么水池半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？

要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25m，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑，如圖所示，為使水流形狀較漂亮，設(shè)計成水流射到距OA為1m處達到距水面最大高度2.25m，如果不計其他因素，那么水池半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標分別為，

所以

所以．

又，

因為，即，

所以．

即．

所以，解得．

因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．

于是存在直線L₁滿足條件，其方程為y=1/2x