題目列表(包括答案和解析)
已知數(shù)列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設(shè)
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用
關(guān)系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結(jié)論。
解：(Ⅰ)當(dāng)
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設(shè)
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)
時, 
,命題成立;
②假設(shè)
時,命題成立,即
,
則當(dāng)
時,
即
即
故當(dāng)時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
已知
，（其中
）
⑴求
及
；
⑵試比較
與
的大小，并說明理由．
【解析】第一問中取
，則
；
…………1分
對等式兩邊求導(dǎo)，得
取
，則
得到結(jié)論
第二問中，要比較與的大小，即比較：
與
的大小，歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
；
猜想：當(dāng)
時，運用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。
解：⑴取，則；
…………1分
對等式兩邊求導(dǎo)，得
，
取，則。 …………4分
⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
…………6分
猜想：當(dāng)時，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
由上述過程可知，
時結(jié)論成立，
假設(shè)當(dāng)
時結(jié)論成立，即
，
當(dāng)
時,
而
∴
即時結(jié)論也成立，
∴當(dāng)時，成立。
…………11分
綜上得，當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
；
當(dāng)
時，
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
給出問題：已知
滿足
，試判定的形狀.某學(xué)生的解答如下：
解：（i）由余弦定理可得，
，
，
,
故
是直角三角形.
（ii）設(shè)外接圓半徑為
.由正弦定理可得，原式等價于
，
故是等腰三角形.
綜上可知，是等腰直角三角形.
請問：該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請在下面橫線中寫出解題過程中主要用到的思想方法；若不正確，請在下面橫線中寫出你認(rèn)為本題正確的結(jié)果. .
如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)D⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D=BE=1，M為BC邊上的動點.
(1)設(shè)N為EF上一點，當(dāng)
時，有DN ∥平面AEM，求 
的值；
(2)試探究點M的位置，使平面AME⊥平面AEF。
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