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故當船速在內時.人船運動路線可物成三角形.即人能追上小船.船能使人追上的最大速度為.由此可見當船速為2.5km/h時, 人可以追上小船. 涉及解答三角形的實際應用題是近年高考命題的一個冷點, 復課時值得關注. 例6 一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比.與它的厚度d的平方成正比.與它的長度l的平方成反比. (1)將此枕木翻轉90°.枕木的安全負荷變大嗎?為什么? (2)現(xiàn)有一根橫斷面為半圓的木材.用它來截取成長方形的枕木.其長度即為枕木規(guī)定的長度.問如何截取.可使安全負荷最大? 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

 [番茄花園1] 本題共有2個小題，第一個小題滿分5分，第2個小題滿分8分。

已知數(shù)列的前項和為，且，

（1）證明：是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項公式，并求出n為何值時，取得最小值，并說明理由。

同理可得，當n≤15時，數(shù)列{Sn}單調遞減；故當n=15時，Sn取得最小值．

 

 [番茄花園1]20.

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某輪船公司爭取到一個相距1000海里的甲、乙兩地的客運航線權。已知輪船限載人數(shù)為400人，輪船每小時使用的燃料費用與輪船速度的立方成正比例，輪船的最大時速為小時25海里。當船速為每小時10海里時，它的燃料費用是每小時30元；其余費用（不論速度如何）都是每小時480元。你能為該公司設計一種較為合理的船票價格嗎？（假設公司打算從每個顧客身上獲得平均利潤為a元，輪船航行時均為滿客）

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精英家教網(wǎng)如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進m（km）后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n（km）范圍內（包括邊界）有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當α與β滿足條件
 
時，該船沒有觸礁危險．

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精英家教網(wǎng)如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的北偏東α角，前進4km后在B處測得該島北偏東β角，已知該島周圍3.5km范圍內有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．
（1）若α=2β=600，問該船有無觸礁危險？如果沒有，請說明理由；如果有，那么該船自B處向東航行多少距離會有觸礁危險？
（2）當α與β滿足什么條件時，該船沒有觸礁危險？

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如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15
2
海里/小時，在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā)，朝北偏東θ（tanθ=
1
2
）的方向作勻速直線航行，速度為m海里/小時．
（1）若兩船能相遇，求m．
（2）當m=10
5
時，求兩船出發(fā)后多長時間距離最近，最近距離為多少海里？

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    例10  為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：

 

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……


    汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)


   講解  設月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　�。紸(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數(shù)　
    得：                                  

　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業(yè)貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    再加上當月的計劃還款數(shù)2210.59元，當月共還款43880.12元．   

    需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.

    例11  醫(yī)學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗，經檢測，病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內該病毒細胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

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    5. 
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    6. 
     
    
      
      
    天數(shù)t
    病毒細胞總數(shù)N
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    …
    1
    2
    4
    8
    16
    32
    64
    …
     
     
     
     
     
     
     
     
    講解 （1）由題意病毒細胞關于時間n的函數(shù)為, 則由
    兩邊取對數(shù)得    n27.5,
       即第一次最遲應在第27天注射該種藥物.
    （2）由題意注入藥物后小白鼠體內剩余的病毒細胞為,
    再經過x天后小白鼠體內病毒細胞為,
    由題意≤108，兩邊取對數(shù)得
    ，
         故再經過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物．
        本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運算是很有效的.
         例12 有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質量分數(shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數(shù)滿足關系式g(t)=
+［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質量分數(shù).
    （1）當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質量分數(shù)；  
    （2）求證：當g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；  
    （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？
     講解（1）∵g(t)為常數(shù),  有g(0)-=0,
∴g(0)=   .                       
    (2) 我們易證得0<t1<t2, 則
    g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
    ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,
    ∴g(t1)<g(t2)    .                                                       
    故湖水污染質量分數(shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴重.                 
    (3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設經過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
    ∴=e，∴t=
ln20，
    故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.
    高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn).當然,數(shù)學高考應用性問題關注當前國內外的政治,經濟,文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風景線.