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當且僅當時等號成立., ∴當x=50千克.y=20千克.z=30千克時.混合物成本最低為850元.線性規(guī)劃是高中數(shù)學的新增內(nèi)容, 涉及此類問題的求解還可利用圖解法, 試試看. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)，對任意均滿足，當且僅當時等號成立。

（1）若定義在(0，＋∞)上的函數(shù)∈M，試比較與大小.

（2）設函數(shù)g(x)＝－x2，求證：g(x)∈M.

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給出命題：若是正常數(shù)，且，，則(當且僅當時等號成立). 根據(jù)上面命題，可以得到函數(shù)（）的最小值及取最小值時的x值分別為（    ）

A.11+6，      B.11+6，        C.5，          D.25，

 

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給出命題：若a，b是正常數(shù)，且a≠b，x，y∈（0，+∞），則（當且僅當時等號成立）．根據(jù)上面命題，可以得到函數(shù)（）的最小值及取最小值時的x值分別為（ ）
A．11+6，
B．11+6，
C．5，
D．25，

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已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）已知，命題p：關于x的不等式對函數(shù)的定義域上的任意恒成立；命題q：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】第一問中，利用由 即

第二問中，，得：

，

第三問中，由在函數(shù)的定義域上 的任意，，當且僅當時等號成立。當命題p為真時，；而命題q為真時：指數(shù)函數(shù)．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以

當命題p為真，命題q為假時；當命題p為假，命題q為真時分為兩種情況討論即可 。

解：（1）由 即

（2），得：

，

（3）由在函數(shù)的定義域上 的任意，，當且僅當時等號成立。當命題p為真時，；而命題q為真時：指數(shù)函數(shù)．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以

當命題p為真，命題q為假時，

當命題p為假，命題q為真時，，

所以

 

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. 給出命題：若是正常數(shù)，且，，則(當且僅當時等號成立). 根據(jù)上面命題，可以得到函數(shù)（）的k*s#5^u最小值及取最小值時的k*s#5^ux值分別為（    ）

A.11+6，      B.11+6，        C.5，          D.25，

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    例10  為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：

 

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……


    汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)


   講解  設月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　�。紸(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數(shù)　
    得：                                  

　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業(yè)貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    再加上當月的計劃還款數(shù)2210.59元，當月共還款43880.12元．   

    需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.

    例11  醫(yī)學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行實驗，經(jīng)檢測，病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

        
     
        
      
      
        天數(shù)t
        病毒細胞總數(shù)N
        1
        2
        3
        4
        5
        6
        7
        …
        1
        2
        4
        8
        16
        32
        64
        …
         
         
         
         
         
         
         
         
        講解 （1）由題意病毒細胞關于時間n的函數(shù)為, 則由
        兩邊取對數(shù)得    n27.5,
           即第一次最遲應在第27天注射該種藥物.
        （2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細胞為,
        再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細胞為,
        由題意≤108，兩邊取對數(shù)得
        ，
             故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物．
            本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運算是很有效的.
             例12 有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分數(shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分數(shù)滿足關系式g(t)=
+［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù).
        （1）當湖水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù)；  
        （2）求證：當g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；  
        （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？
         講解（1）∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0,
∴g(0)=   .                       
        (2) 我們易證得0<t1<t2, 則
        g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
        ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,
        ∴g(t1)<g(t2)    .                                                       
        故湖水污染質(zhì)量分數(shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴重.                 
        (3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
        ∴=e，∴t=
ln20，
        故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.
        高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn).當然,數(shù)學高考應用性問題關注當前國內(nèi)外的政治,經(jīng)濟,文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風景線.