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13、用數學歸納法證明：當n∈N^*時，1+2+2²+…+2^5n-1是31的倍數時，當n=1時，原式的值為；從k到k+1時需增添的項是．

已知數列{a_n}的前n項的和為S_n，且對任意的正整數n都有Sn=

an+n2

2

．
（1）求a₁，a₂及數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：b₁=1，當n≥2時，bn=an2(

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an-12

)，證明：當n≥2時，

bn+1

(n+1)2

-

bn

n2

=

1

n2

；
（3）在（2）的條件下，試比較(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)…(1+

1

bn

)與4的大小關系．

已知數列{α_n}的前n項和為S_n，α₁=l，S_n=（2ⁿ-1）α_n（n∈N^*）．
（1）證明：數列{α_n}是等比數列；
（2）記T_n=n×α₁+（n-1）α₂+（n-2）α₃+…+2×α_n-1+1×α_n（n∈N^*），求L；
（3）證明：當n≥2（n∈N^*）時，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

設函數f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）試通過研究函數g（x）=

ln(1+x)

x

（x＞0）的單調性證明：當n＞m＞0時，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）證明：當n＞2013，且x₁，x₂，x₃，…，x_n均為正實數，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1 時，(

x 2 1

1+x1

+

x 2 2

1+x2

+

x 2 3

1+x3

+…+

x 2 n

1+xn

)

1

n

＞(

1

2014

)

1

2013

．