題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3．(1)設a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；
(2)若a＞
，且當x∈[1，4a]時，|
|≤12a恒成立，試確定a的取值范圍．
1，則|
|＝12a2＞12a．故當x∈[1，4a]時||≤12a不恒成立．
所以使||≤12a(x∈[1，4a])恒成立的a的取值范圍是(，
]．
已知m>1，直線
，橢圓C：
，
、
分別為橢圓C的左、右焦點.
（Ⅰ）當直線過右焦點時，求直線的方程;
（Ⅱ）設直線與橢圓C交于A、B兩點，△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.[
【解析】第一問中因為直線經(jīng)過點（
，0），所以＝
，得
.又因為m>1，所以
，故直線的方程為
第二問中設
，由
，消去x，得
，
則由
，知
<8,且有
由題意知O為的中點.由
可知
從而
，設M是GH的中點，則M（
）.
由題意可知，2|MO|<|GH|,得到范圍
已知曲線C:
(m∈R)
（1） 若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；
（2） 設m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線。
【解析】（1）曲線C是焦點在x軸上的橢圓，當且僅當
解得
，所以m的取值范圍是
(2)當m=4時，曲線C的方程為
，點A,B的坐標分別為
，
由
，得
因為直線與曲線C交于不同的兩點，所以
即
設點M，N的坐標分別為
，則
直線BM的方程為
，點G的坐標為
因為直線AN和直線AG的斜率分別為
所以
即
,故A，G，N三點共線。
已知
，函數(shù)
（1）當
時，求函數(shù)
在點(1，
)的切線方程；
(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；
(3)若在
上至少存在一個實數(shù)x0，使
>g(xo)成立，求正實數(shù)
的取值范圍。
【解析】本試題中導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。（1）中
，那么當時，
又 
所以函數(shù)在點(1，)的切線方程為
；（2）中令
有 
對a分類討論
，和
得到極值。（3）中，設
，
，依題意，只需
那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵
∴
∴ 當時， 又
∴ 函數(shù)在點(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令 有
①
當
即時
|
|
（－1，0） |
0 |
（0， |
|
（ |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
，極小值是
②
當
即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為
，無極小值。
綜上所述 時，極大值為，無極小值
時 極大值是，極小值是 ----------8分
（Ⅲ）設，
對
求導，得
∵
， 
∴ 在區(qū)間
上為增函數(shù)，則
依題意，只需，即
解得 
或
（舍去）
則正實數(shù)的取值范圍是（
，
）
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