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已知函數(shù)，數(shù)列的項(xiàng)滿足： ，（1）試求

（2） 猜想數(shù)列的通項(xiàng)，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】第一問中，利用遞推關(guān)系,

,   

第二問中，由（1）猜想得：然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（數(shù)學(xué)歸納法證明）i) ,  ,命題成立

ii) 假設(shè)時(shí)，成立

則時(shí)，

                              

綜合i),ii) : 成立

 

已知集合,若對(duì)于任意,存在,使

得成立,則稱集合是“集合”. 給出下列4個(gè)集合:

①             ②

③           ④

其中所有“集合”的序號(hào)是 (  )A．①③  B．①④ C．②④          D．②③④

已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，且滿足,．?dāng)?shù)列滿足,，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【解析】第一問利用在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時(shí)，滿足，

，

第二問，①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號(hào)在n=2時(shí)取得．

此時(shí) 需滿足．  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．

此時(shí) 需滿足．

第三問，

     若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，即，

        ．

（1）（法一）在中，令n=1，n=2，

得   即      

解得，， [

又時(shí)，滿足，

，

．

（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．   

 ，等號(hào)在n=2時(shí)取得．

此時(shí) 需滿足．  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     

 是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．

此時(shí) 需滿足．

綜合①、②可得的取值范圍是．

（3），

     若成等比數(shù)列，則，

即．

由，可得，即，

．

又，且m>1，所以m=2，此時(shí)n=12．

因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2， n=12時(shí)，數(shù)列中的成等比數(shù)列

 

若是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：．

證明過程如下：

，，，，

又不全相等，

以上三式至少有一個(gè)“”不成立，

將以上三式相加得，

．

此證法是（    ）

A．分析法       B．綜合法       C．分析法與綜合法并用       D．反證法

 

若a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a²＋b²＋c²>ab＋bc＋ca.

證明過程如下：

∵a、b、c∈R，∴a²＋b²≥2ab，

b²＋c²≥2bc，c²＋a²≥2ac，

又∵a，b，c不全相等，

∴以上三式至少有一個(gè)“＝”不成立，

∴將以上三式相加得2(a²＋b²＋c²)>2(ab＋bc＋ac)，

∴a²＋b²＋c²>ab＋bc＋ca.

此證法是(　　)

(A)分析法                      (B)綜合法

(C)分析法與綜合法并用      (D)反證法