題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
有一隧道既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段.為了保證安全，交通部門規(guī)定，隧道內(nèi)的車距
正比于車速
的平方與車身長(zhǎng)
的積，且車距不得小于一個(gè)車身長(zhǎng)
（假設(shè)所有車身長(zhǎng)均為）.而當(dāng)車速為
時(shí)，車距為1.44個(gè)車身長(zhǎng).
⑴求通過(guò)隧道的最低車速；
⑵在交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，可以使隧道在單位時(shí)段內(nèi)通過(guò)的汽車數(shù)量
最多？
為了解高中一年級(jí)學(xué)生身高情況，某校按10%的比例對(duì)全校700名高中一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行抽樣檢查，測(cè)得身高頻數(shù)分布表如下表1、表2．
表1：男生身高頻數(shù)分布表
|
身高（cm） |
[160，165） |
[165，170） |
[170，175） |
[175，180） |
[180，185） |
[185，190） |
|
頻數(shù) |
2 |
5 |
14 |
13 |
4 |
2 |
表2：女生身高頻數(shù)分布表
|
身高（cm） |
[150，155） |
[155，160） |
[160，165） |
[165，170） |
[170，175） |
[175，180） |
|
頻數(shù) |
1 |
7 |
12 |
6 |
3 |
1 |
（I）求該校男生的人數(shù)并完成下面頻率分布直方圖；
（II）估計(jì)該校學(xué)生身高在
的概率；
（III）從樣本中身高在180
190cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185190cm之間的概率。
【解析】第一問(wèn)樣本中男生人數(shù)為40 ，
由分層抽樣比例為10%可得全校男生人數(shù)為400
（2）中由表1、表2知，樣本中身高在的學(xué)生人數(shù)為：5+14+13+6+3+1=42，樣本容量為70 ，所以樣本中學(xué)生身高在的頻率
故由
估計(jì)該校學(xué)生身高在的概率
（3）中樣本中身高在180185cm之間的男生有4人，設(shè)其編號(hào)為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人，設(shè)其編號(hào)為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹狀圖，故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15，求至少有1人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率
由表1、表2知，樣本中身高在的學(xué)生人數(shù)為：5+14+13+6+3+1=42，樣本容量為70 ，所以樣本中學(xué)生身高在
的頻率
-----------------------------------------6分
故由估計(jì)該校學(xué)生身高在的概率．--------------------8分
（3）樣本中身高在180185cm之間的男生有4人，設(shè)其編號(hào)為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人，設(shè)其編號(hào)為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹狀圖為：
--10分
故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15，求至少有1人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率
某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售。如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理。
（Ⅰ）若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式。
（Ⅱ）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
|
日需求量n |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
頻數(shù) |
10 |
20 |
16 |
16 |
15 |
13 |
10 |
(i)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)；
(ii)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率.
【命題意圖】本題主要考查給出樣本頻數(shù)分別表求樣本的均值、將頻率做概率求互斥事件的和概率，是簡(jiǎn)單題.
【解析】（Ⅰ）當(dāng)日需求量
時(shí)，利潤(rùn)
=85；
當(dāng)日需求量
時(shí)，利潤(rùn)
，
∴關(guān)于
的解析式為
；
（Ⅱ）(i)這100天中有10天的日利潤(rùn)為55元，20天的日利潤(rùn)為65元，16天的日利潤(rùn)為75元，54天的日利潤(rùn)為85元，所以這100天的平均利潤(rùn)為
=76.4；
(ii)利潤(rùn)不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求不少于16枝，故當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率為
已知遞增等差數(shù)列
滿足：
，且
成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
（2）若不等式
對(duì)任意
恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用設(shè)數(shù)列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問(wèn)中，不等式等價(jià)于
，利用當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對(duì)任意恒成立．
方法一：數(shù)學(xué)歸納法．
當(dāng)時(shí)，
，成立．
假設(shè)當(dāng)
時(shí)，不等式
成立，
當(dāng)
時(shí)，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對(duì)任意，不等式恒成立．…14分
方法二：?jiǎn)握{(diào)性證明．
要證
只要證 
，
設(shè)數(shù)列
的通項(xiàng)公式
， …………10分
， …………12分
所以對(duì)
，都有
，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點(diǎn) 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對(duì)任意 
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問(wèn)中，利用當(dāng)
時(shí)，
．
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（
），
則
，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：
第二問(wèn)中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．
，
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（），
則，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當(dāng)
時(shí)，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當(dāng)
時(shí)，令
，對(duì)稱軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當(dāng)
，即
時(shí)，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)
時(shí)，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
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