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設(shè)點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當(dāng)時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標，從而使得

；

（2）當(dāng)時，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè)，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設(shè)，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當(dāng)時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過作

拋物線的準線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關(guān)，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標（）滿足 ”，即：

“當(dāng)時，若，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設(shè)，

分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱”，即：

“當(dāng)時，若，且點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

 

已知函數(shù)，，k為非零實數(shù).

（Ⅰ）設(shè)t=k²,若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)性相同，求k的取值范圍;

（Ⅱ）是否存在正實數(shù)k，都能找到t∈[1,2],使得關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且僅有一個實數(shù)根，且在[－5,－1]上至多有一個實數(shù)根.若存在，請求出所有k的值的集合；若不存在，請說明理由.

 

【解析】本試題考查了運用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，并求解參數(shù)的取值范圍。與此同時還能對于方程解的問題，轉(zhuǎn)化為圖像與圖像的交點問題來長處理的數(shù)學(xué)思想的運用。

 

. （本小題滿分14分）已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的極值點；（Ⅱ）若函數(shù)在上有零點，求的最大值；（Ⅲ）證明：當(dāng)時，有成立；若（），試問數(shù)列中是否存在？若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，請說明理由．（為自然對數(shù)的底數(shù)）

已知函數(shù)，曲線在點x=1處的切線為，若時，有極值。

（1）求的值； （2）求在上的最大值和最小值。

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用，以及運用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和最值的問題。體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性的作用。