已知m∈R，對p：x₁和x₂是方程x²－ax－2＝0的兩個根，不等式|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立；q：函數f(x)＝3x²＋2mx＋m＋有兩個不同的零點.求使“p且q”為假命題、“p或q”為真命題的實數m的取值范圍．

設x是一個自然數．若一串自然數x₀＝1，x₁，x₂，…，x_t－1，x_t＝x，滿足x_i－1＜x_i，x_i－1|x_i，i＝1，2，…，t．則稱{x₀，x₁，x₂，…x_t}為x的一條因子鏈，t為該因子鏈的長度．T(x)與R(x)分別表示x的最長因子鏈的長度和最長因子鏈的條數．對于x＝5^k×31^m×1990ⁿ(k，m，n是自然數)試求T(x)與R(x)．

已知，設和是方程的兩個根，不等式對任意實數恒成立；函數有兩個不同的零點.求使“P且Q”為真命題的實數的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數零點的運用。由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3. 當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實數m的取值范圍是(4,8]

（2）如果兩組數x₁,x₂,…,x_n和y₁,y₂,…,y_n的樣本平均數分別是x和y,那么一組數x₁+y₁,x₂+y₂,…,x_n+y_n的平均數是___________．

活動：學生思考或交流,教師提示,根據平均數的定義得到結論.

若定義在[-2012，2012]上的函數f(x)滿足：對任意x₁，x₂∈[-2012，2012]有f(x₁+x₂)＝f(x₁)+f(x₂)-2011，且x＞0時有f(x)＞2011，f(x)的最大值、最小值分別為M、N，則M+N＝

1. A.
   2011
2. B.
   2012
3. C.
   4024
4. D.
   4022