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質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上．平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為X₀，如圖所示．物塊從鋼板正對距離為3X₀的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動，但不粘連，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動．已知物體質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)，求：
（1）物塊與鋼板碰后的速度v；
（2）彈簧被壓縮X₀時(shí)的彈性勢能E_p；
（3）若物塊質(zhì)量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度，物塊向上運(yùn)動到最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離．

如圖所示，傾角為θ的粗糙斜面底端固定一個垂直斜面的彈性擋板P．現(xiàn)使物塊A從擋板處以v₀=2m/s的初速度出發(fā)，沿斜面向上運(yùn)動，經(jīng)過1s到達(dá)最高點(diǎn)，然后下滑，經(jīng)過2s又回到擋板處．假設(shè)物塊與擋板碰撞后能量不損失以原速率反彈．試求：
（1）物塊上滑時(shí)加速度大小與下滑時(shí)加速度大小之比；
（2）物塊第一次被擋板反彈后，再次滑回到斜面底端所需要的時(shí)間；
（3）物塊從出發(fā)到最后停止運(yùn)動所通過的總路程．

如圖所示，一質(zhì)量為m的小球C用輕繩懸掛在O點(diǎn)．小球下方有一質(zhì)量為2m的平板車B靜止在光滑水平地面上，小球的位置比車板略高．一質(zhì)量為m的物塊A以大小為v₀的初速度向左滑上平板車，此時(shí)A、C間的距離為d．一段時(shí)間后，物塊A與小球C發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)兩者的速度互換，且碰撞時(shí)間極短．已知物塊與平板車間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．
（1）若A碰C之前物塊與平板車已達(dá)共同速度，要使碰后小球能繞O點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動，輕繩的長度l應(yīng)滿足什么條件？
（2）若A碰C之前物塊與平板車已達(dá)共同速度，求d和v₀之間滿足的關(guān)系和碰后物塊與平板車最后共同的速度v．
（3）若A碰C之前物塊與平板車未達(dá)共同速度，求碰后物塊與平板車最后共同的速度v與v₀和d的關(guān)系．

光滑的水平面上固定有左、右兩豎直擋板，擋板間距離足夠長，有一質(zhì)量為M，長為L的長木板靠在左側(cè)擋板處，另有一質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），放置在長木板的左端，已知小物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)為μ，且M＞m，現(xiàn)使小物塊和長木板以共同速度v₀向右運(yùn)動，設(shè)長木板與左一右擋板的碰撞中無機(jī)械能損失．重力加速度為g．
（1）將要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，小物塊與木板的共同速度多大？
（2）為使小物塊最終不從長木板上落下，板長L應(yīng)滿足什么條件？
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．計(jì)算整個系統(tǒng)在剛要發(fā)生第四次碰撞前損失的機(jī)械能和此時(shí)物塊距離木板最左端的長度．