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已知集合A＝{a₁，a₂，a₃，…，a_n}，n∈N^*且n>2，令T_A＝{x|x＝a_i＋a_j，a_i，a_j∈A,1≤i<j≤n}，用card(T_A)表示集合T_A中元素的個數(shù)．

①若A＝{2,4,8,16}，則card(T_A)＝________；

②若a_i＋1－a_i＝c(1≤i≤n－1，c為非零常數(shù))，則card(T_A)＝________.

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝，點(n，2a_n＋1－a_n)(n∈N^*)在直線y＝x上，

   （1）計算a₂，a₃，a₄的值；

   （2）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；

   （3）設S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，試求出λ．的值；若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)f（x）＝log_ax（a＞0且a≠1），若數(shù)列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛a_n｝的通項a_n；

（2）若0＜a＜1，求數(shù)列｛a_n｝的前n項和S_n；

（3）若a＝2，令b_n＝a_n·f（a_n），對任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），求實數(shù)t的取值范圍.

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃＝7，a₅＋a₇＝26．

    （1）求通項a_n；

    （2）令b_n＝(n∈N^*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數(shù)∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．