題目列表(包括答案和解析)
某校從參加某次知識競賽的同學中，選取60名同學將其成績（百分制）（均為整數(shù)）分成6組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題.
（Ⅰ）求分數(shù)在[70,80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）從頻率分布直方圖中，估計本次考試的平均分；
（Ⅲ）若從60名學生中隨機抽取2人，抽到的學生成績在[40,70）記0分，在[70,100]記1分，用X表示抽取結束后的總記分，求X的分布列和數(shù)學期望.
【解析】第一問中設分數(shù)在[70,80）內的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖，則有
（0.01＋0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1,可得x=0.3,
第二問平均分為：
第三問學生成績在[40,70）的有0.4×60=24人，
在[70,100]的有0.6×60=36人，并且X的
可能取值是0，1，2.
某校從參加高三年級理科綜合物理考試的學生中隨機抽出
名學生，將其數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段
，
…
后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分數(shù)在
內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計本次考試的
平均分；
（Ⅲ）若從名學生中隨機抽取
人，抽到的學生成績在
記
分，在
記
分，
在
記分，用
表示抽取結束后的總記分，求的分布列和數(shù)學期望.
【解析】（1）中利用直方圖中面積和為1，可以求解得到分數(shù)在內的頻率為
（2）中結合平均值可以得到平均分為：
（3）中用表示抽取結束后的總記分x, 學生成績在的有
人，在的有
人，在的有
人,結合古典概型的概率公式求解得到。
(Ⅰ)設分數(shù)在內的頻率為
，根據(jù)頻率分布直方圖，則有
，可得，所以頻率分布直方圖如右圖.……4分
（求解頻率3分，畫圖1分）
（Ⅱ）平均分為：……7分
（Ⅲ）學生成績在的有人，在的有人，
在的有人.并且的可能取值是
. ………8分
則
；
；
；
；
.（每個1分）
所以的分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
…………………13分
一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4．
（I）從袋中隨機抽取一個球，將其編號記為
，然后從袋中余下的三個球中再隨機抽取一個球，將其編號記為
．求關于
的一元二次方程
有實根的概率；
（II）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n．若以
作為點P的坐標，求點P落在區(qū)域
內的概率．
【解析】第一問利用古典概型概率求解所有的基本事件數(shù)共12種，然后利用方程
有實根，則滿足△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。，這樣求得事件發(fā)生的基本事件數(shù)為6種，從而得到概率。第二問中，利用所有的基本事件數(shù)為16種。即基本事件（m，n）有：（1，1） （1,2） （1,3） （1,4）
（2,1） （2，2） （2,3） （2,4） （3,1）
（3,2） （3，3）
（3,4） （4,1） （4,2） （4,3）
（4，4）共16種。在求解滿足的基本事件數(shù)為（1，1） （2,1） （2，2） （3,1） 共4種，結合古典概型求解得到概率。
（1）基本事件（a，b）有：（1,2） （1,3） （1,4） （2,1） （2,3） （2,4） （3,1） （3,2） （3,4） （4,1） （4,2） （4,3）共12種。
∵有實根， ∴△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。
記“有實根”為事件A，則A包含的事件有：（2,1） （3,1）
（3,2） （4,1） （4,2） （4,3） 共6種。
∴PA.= 
。 …………………6分
（2）基本事件（m，n）有：（1，1） （1,2） （1,3） （1,4） （2,1） （2，2） （2,3） （2,4） （3,1） （3,2） （3，3） （3,4） （4,1） （4,2） （4,3） （4，4）共16種。
記“點P落在區(qū)域內”為事件B，則B包含的事件有：
（1，1） （2,1） （2，2） （3,1） 共4種。∴PB.=
（本小題滿分12分）學數(shù)學，其實是要使人聰明，使人的思維更加縝密，在美國廣為流傳的一道數(shù)學題目是：老板給你兩個加工資的方案。一是每年年末加一千元；二是每半年結束時加300元。請選擇一種。一般不擅長數(shù)學的人很容易選擇前者，因為一年加一千元總比兩個半年共加600元要多。其實，由于工資累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利。例如在第二年的年末，依第一種方案可以加得1000+2000=3000元，而第二種方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，總數(shù)也是900+2100=3000元。但到了第三年，第一種方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二種方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元。第四年，第五年會更多。因此，你若會在公司干三年以上，則應選擇第二種方案。
根據(jù)以上材料，解答以下問題：
（1）如果在該公司干10年，問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元？
�。�2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 
元，問 取何值時，選 擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪？
山東省《體育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以學校為單位進行體育測試，某校對高三1班同學按照高考測試項目按百分制進行了預備測試，并對50分以上的成績進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，若90~100分數(shù)段的人數(shù)為2人.
（Ⅰ）請估計一下這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成一個小組.若選出的兩人成績差大于20，則稱這兩人為“幫扶組”，試求選出的兩人為“幫扶組”的概率.
【解析】本試題主要考查了概率的運算和統(tǒng)計圖的運用。
（1）由由頻率分布直方圖可知:50~60分的頻率為0.1, 60~70分的頻率為0.25, 70~80分的頻率為0.45, 80~90分的頻率為0.15, 90~100分的頻率為0.05，然后利用平均值公式，可知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)
（2）中利用90~100分數(shù)段的人數(shù)為2人，頻率為0.05；得到總參賽人數(shù)為40，然后得到0~60分數(shù)段的人數(shù)為40×0.1=4人，第五組中有2人，這樣可以得到基本事件空間為15種，然后利用其中兩人成績差大于20的選法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8種，得到概率值
解：(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知:50~60分的頻率為0.1, 60~70分的頻率為0.25, 70~80分的頻率為0.45, 80~90分的頻率為0.15, 90~100分的頻率為0.05； ……………2分
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分
(Ⅱ)∵90~100分數(shù)段的人數(shù)為2人，頻率為0.05；
∴參加測試的總人數(shù)為
=40人，……………………………………5分
∴50~60分數(shù)段的人數(shù)為40×0.1=4人， …………………………6分
設第一組50~60分數(shù)段的同學為A1，A2，A3，A4；第五組90~100分數(shù)段的同學為B1，B2
則從中選出兩人的選法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15種；其中兩人成績差大于20的選法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8種 …………………………11分
則選出的兩人為“幫扶組”的概率為
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