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如圖，，，…，，…是曲線上的點(diǎn)，，，…，，…是軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）寫出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；

（2）求證：（）；

（3）設(shè)，對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得

第三問 

．………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立； ……………2分

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，……………………1分

則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當(dāng)時(shí)，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對(duì)所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，

 

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)在在處取到極值點(diǎn)可知導(dǎo)數(shù)為零可以解得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式 恒成立轉(zhuǎn)化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設(shè)，則.

設(shè)，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911530204634527/SYS201207091153477963415106_ST.files/image016.png">，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

 

一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區(qū)域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千噸，水廠計(jì)劃在當(dāng)日每小時(shí)向蓄水池注入水2千噸，且每小時(shí)通過管道向所管轄區(qū)域供水千噸．

（1）多少小時(shí)后，蓄水池存水量最少？

（2）當(dāng)蓄水池存水量少于3千噸時(shí)，供水就會(huì)出現(xiàn)緊張現(xiàn)象，那么當(dāng)日出現(xiàn)這種情況的時(shí)間有多長？

【解析】第一問中（1）設(shè)小時(shí)后，蓄水池有水千噸．依題意，當(dāng)，即（小時(shí)）時(shí)，蓄水池的水量最少，只有1千噸

第二問依題意，   解得：

解：（1）設(shè)小時(shí)后，蓄水池有水千噸．………………………………………1分

依題意，…………………………………………4分

當(dāng)，即（小時(shí)）時(shí)，蓄水池的水量最少，只有1千噸． ………2分

（2）依題意，   ………………………………………………3分

解得：．  …………………………………………………………………3分

所以，當(dāng)天有8小時(shí)會(huì)出現(xiàn)供水緊張的情況

 

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由P在橢圓上，有

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

已知，函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程；

(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使>g(x_o)成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。（1）中，那么當(dāng)時(shí)，  又    所以函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為；（2）中令   有 

對(duì)a分類討論，和得到極值。（3）中，設(shè)，，依題意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當(dāng)時(shí)，  又    

∴  函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         當(dāng)即時(shí)

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

故的極大值是，極小值是

②         當(dāng)即時(shí)，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時(shí)，極大值為，無極小值

時(shí)  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設(shè)，

對(duì)求導(dǎo)，得

∵，    

∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（，）