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題目列表(包括答案和解析)

(理)設函數f(x)=1+9x6tlnx，在x=a，x=b處分別取得極大值和極小值，連接函數圖像上A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點．

(1)求實數t的取值范圍；

(2)是否存在實數t，使得線段AB(包括兩端點)與直線x=1相交?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

(文)已知函數f(x)=mx3-x的圖像上，以N(1，n)為切點的切線的傾斜角為．

(1)求m，n的值；

(2)是否存在最小的正整數k，使得不等式f(x)≤k-1991對于x∈[-1，3]恒成?如果存在，請求出最小的正整數k；如果不存在，請說明理由。

(3)求證：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．

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(12分)已知函數，

(1)當時，求的反函數；

(2)求關于的函數 當時的最小值；

(3)我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；②在函數的定義域內存在區(qū)間使得函數在區(qū)間上的值域為.

(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數”？若是，求出的值或關系式；若不是，請說明理由；

(Ⅱ)若關于的函數是“和諧函數”，求實數的取值范圍.

 

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(12分)已知函數，
(1)當時，求的反函數；
(2)求關于的函數當時的最小值；
(3)我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；②在函數的定義域內存在區(qū)間使得函數在區(qū)間上的值域為.
(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數”？若是，求出的值或關系式；若不是，請說明理由；
(Ⅱ)若關于的函數是“和諧函數”，求實數的取值范圍.

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如圖，已知△ABC中，∠C=
π
2
．設∠CBA=θ，BC=a，它的內接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上，D、G分別在AC、BC上．假設△ABC的面積為S，正方形DEFG的面積為T．
（1）用a，θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T；
（2）設f(θ)=
T
S
，試求f（θ）的最大值P，并判斷此時△ABC的形狀；
（3）通過對此題的解答，我們是否可以作如下推斷：若需要從一塊直角三角形的材料上裁剪一整塊正方形（不得拼接），則這塊材料的最大利用率要視該直角三角形的具體形狀而定，但最大利用率不會超過第（2）小題中的結論P．請分析此推斷是否正確，并說明理由．

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深夜，一輛出租車牽涉到一起交通事故中，該市有紅色與綠色兩種顏色的出租車2000輛，其中綠色出租車和紅色出租車分別占整個城市的85%和15%，根據現場目擊者說：事故現場的出租車是紅色的．有關部門對證人的辨別能力作了測試，測得他辨認的正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車有較大的肇事嫌疑．
（1）根據現場目擊者的說法，填寫下列的信息表，并求紅色出租車肇事的概率；
證人所說的顏色（正確率80%）
真實顏色 綠色（輛） 紅色（輛） 合計
綠色（85%） 1700
紅色（15%） 300
合計（輛） 2000
（2）試問：肇事的認定對紅色出租車公平嗎？請說明理由．

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