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(理)設(shè)是區(qū)間D上的任意兩點(diǎn).若函數(shù)滿足成立.則稱函數(shù)在區(qū)間D上下凸. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)x1、x2是區(qū)間D上的任意兩點(diǎn)，若函數(shù)y=f(x)滿足f(成立,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上下凸.

(1)證明函數(shù)f(x)=x+在區(qū)間(0,+∞)上下凸.

(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上下凸,則對(duì)任意的x1,x2,…,xn∈D 有.試根據(jù)下凸倒數(shù)的這一性質(zhì),證明若x1,x2,…,xn∈(0,+∞),則(x1+x2+…+xn)≥n2.

(文)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a3,a9,a6成等差數(shù)列,問(wèn):S3,S9,S6是否成等差數(shù)列?

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設(shè)F1、F2分別是橢圓C:+=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),l為左準(zhǔn)線,A1、A2分別為其長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn).

(1)若橢圓上的點(diǎn)M(1,)到F1、F2的距離之和為4,求橢圓方程;

(2)有一個(gè)猜想:“設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)(y1y2≠0)是橢圓C上的任意兩點(diǎn)，若P、F1、Q三點(diǎn)共線,則直線PA1、QA2、l共點(diǎn).”你認(rèn)為這個(gè)猜想能成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式
f(x1)+f(x2)
2
≤f（
x1+x2
2
）成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（1）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并判斷函數(shù)
f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）能否成為R上的凸函數(shù)；
（3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
試求f（x）的解析式；并判斷所求的函數(shù)f（x）是不是R上的凸函數(shù)說(shuō)明理由．

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對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=ax+b（a，b為常數(shù)），使得對(duì)于區(qū)間D上的任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≤g（x）成立，則稱g（x）為函數(shù)f（x）區(qū)間D上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”．設(shè)f（x）=-2xlnx-x2，g（x）=-ax+3．若g（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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若函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”，
（1）判斷g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是實(shí)數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)列{xn}對(duì)所有的正整數(shù)n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
，設(shè)yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|＜
1
4
．

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