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（本小題滿(mǎn)分12分）
某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽,第一輪選拔共設(shè)有四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：
每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一題減2分；
每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；
每位參加者按問(wèn)題順序作答，直至答題結(jié)束.
假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.
(Ⅰ)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；
（Ⅱ）用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)的.

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本題共有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿(mǎn)分14分．如果多做，則以所做的前2題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T₁是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為M₁，變換T₂對(duì)應(yīng)的變換矩陣是；
（I）求點(diǎn)P（2，1）在T₁作用下的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（II）求函數(shù)y=x²的圖象依次在T₁，T₂變換的作用下所得的曲線(xiàn)方程．
（2）選修4-4：極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
從極點(diǎn)O作一直線(xiàn)與直線(xiàn)l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一點(diǎn)P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)R為l上的任意一點(diǎn)，試求RP的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x-1）＞b對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

A

A

A

B

B

A

D

二、填空題

11. 8 + ； 12. 60；  13.；    14.  14；   15. .

三、解答題

16. 解：（1）依題意的,所以,于是       ……………2分

由解得                                             ……………4分

把代入,可得,所以,

所以,因?yàn)?sub>,所以 綜上所述，   …………7分

（2）令，得，又  

故 函數(shù)的零點(diǎn)是                   ……………10分

 由得

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是                                ……………13分

17. 解：（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),有平面        ………2分

證明:連結(jié)交于,連結(jié)∵四邊形是矩形  ∴為中點(diǎn)

又為中點(diǎn),從而  ……………………………4分

∵平面,平面∴平面……………6分

（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,  ……7分

所以,.   ……………………………8分

設(shè)為平面的法向量,則有,即令,可得平面的一個(gè)法向量為,

而平面的一個(gè)法向量為                                       ……………11分

所以所以二面角的余弦值為……………13分

18. 解:

19．解：

（1）依題意雙曲線(xiàn)方程可化為則=4

點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其方程可設(shè)為

由得

則所求橢圓方程為，

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為；………………3分

（2）設(shè),則由，可知

在中

又即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故的最小值為………………6分

（3）當(dāng)與軸重合時(shí)，構(gòu)不成角AMB，不合題意．

當(dāng)軸時(shí)，直線(xiàn)的方程為，代入解得、的坐標(biāo)分別為、   而，∴，猜測(cè)為定值．………8分

證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為，由  ，得

∴ ， ………10分

∴

∴ 為定值。(AB與點(diǎn)M不重合)  ……13分

20．解：

（1）當(dāng)時(shí),由得；當(dāng)時(shí)由得

綜上：當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>； 當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>………3分

（2）………5分

令時(shí)，得即，

①當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為

②當(dāng)時(shí)，，所以，

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．

③當(dāng)時(shí)，若，;若，，

故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為;   …10分

（Ⅲ）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為

若存在使得成立，只須，

即    ………14分

21．（本題滿(mǎn)分14分，共3小題，任選其中2題作答，每小題7分）

 (1)選修4－2：矩陣與變換

解：由 M=  N= 可得

的特征多項(xiàng)式為

令得矩陣的特征值為

再分別求得對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量…………7分

(2) 選修4－5：不等式選講

（1）解：依題意可知 ，

則函數(shù)的圖像如圖所示：

（2）由函數(shù)的圖像容易求得原不等式的解集為…………7分

(3) 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解：由 即則易得由易得

圓心到直線(xiàn)的距離為

又圓的半徑為2 , 圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為…………7分