題目列表(包括答案和解析)
（2009天津卷理）（本小題滿分14分）
已知等差數列{
}的公差為d（d
0），等比數列{
}的公比為q（q>1）。設
=
+
…..+ 
,
=-+…..+(-1
,n
若
=
= 1，d=2，q=3，求 
的值；
若=1，證明（1-q）
-（1+q）
=
，n；
(Ⅲ) 若正數n滿足2
nq，設
的兩個不同的排列， 
， 
證明
。
本小題主要考查等差數列的通項公式、等比數列的通項公式與前n項和公式等基礎知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。
（2009天津卷理）（本小題滿分14分）
已知等差數列{
}的公差為d（d
0），等比數列{
}的公比為q（q>1）。設
=
+
…..+ 
,
=-+…..+(-1
,n
若
=
= 1，d=2，q=3，求 
的值；
若=1，證明（1-q）
-（1+q）
=
，n；
(Ⅲ) 若正數n滿足2
nq，設
的兩個不同的排列， 
， 
證明
。
本小題主要考查等差數列的通項公式、等比數列的通項公式與前n項和公式等基礎知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。
把函數
的圖象按向量
平移得到函數
的圖象．
(1)求函數的解析式； (2)若
，證明：
.
【解析】本試題主要考查了函數 平抑變換和運用函數思想證明不等式。第一問中，利用設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入 ，便可以得到結論。第二問中，令
，然后求導，利用最小值大于零得到。
(1)解：設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入 得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以
．……4分
(2) 證明：令，……6分
則
……8分
,∴
,∴
在
上單調遞增．……10分
故
，即
已知函數
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x2，是否存在實數a，當x∈（0，e](e是自然常數)時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：
【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。第一問中利用函數f（x）在[1，2]上是減函數，的導函數恒小于等于零，然后分離參數求解得到a的取值范圍。第二問中，
假設存在實數a，使
有最小值3，利用
，對a分類討論，進行求解得到a的值。
第三問中，
因為
，這樣利用單調性證明得到不等式成立。
解：(Ⅰ) 
(Ⅱ) 
（Ⅲ）見解析
經過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內,某公路段汽車的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(km/h)之間的函數關系為y=
(v>0).
(1)在該時段內,當汽車的平均速度v為多少時,車流量最大?最大車流量為多少?(精確到0.1千輛/小時)
(2)若要求在該時段內車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度應在什么范圍內?
本題主要考查函數、不等式等基本知識,考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力.
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