題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，橢圓上的點
滿足
，且
的面積
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）是否存在直線
，使與橢圓交于不同的兩點
、
，且線段
恰被直線
平分？若存在，求出
的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，
為原點.
（1）如圖1，點
為橢圓
上的一點，
是
的中點，且
，求點
到
軸的距離；
（2）如圖2，直線
與橢圓相交于
、
兩點，若在橢圓
上存在點
，使四邊形
為平行四邊形，求
的取值范圍．
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，
為原點.
（1）如圖1，點
為橢圓
上的一點，
是
的中點，且
，求點
到
軸的距離；
（2）如圖2，直線
與橢圓相交于
、
兩點，若在橢圓
上存在點
，使四邊形
為平行四邊形，求
的取值范圍．
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，P為橢圓
上任意一點，且
的最小值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）動圓
與橢圓相交于A、B、C、D四點，當
為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
， 焦距為2，過作垂直于橢圓長軸的弦長
為3
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點的動直線
交橢圓于A、B兩點，判斷是否存在直線使得
為鈍角，若存在，求出直線的斜率
的取值范圍
1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．C 1 0．B
11．B 12．D
【解析】
1．
．
2．
．
3．
是方程
的根，
或8，又
，
．
4．
．
5．畫出可行域，如圖，
可看為區(qū)域內(nèi)的點與（0，0）連線的斜率，
．
．
6．
7．連
，設(shè)
平面
．
是
與平面所成的角． 
，
．
8．據(jù)
的圖象知 
的解集為
．
9．由
知
點的軌跡是以
，
為焦點的雙曲線一支．
，
．
10．將命中連在一起的3槍看作一個整體和另外一槍命中的插入沒有命中的4槍留下的5個空檔，故有
種．
11．設(shè)
，圓為
最長弦
為直徑，最短弦
的中點為
，
12．幾何體的表面積是三個圓心角為
、半徑為1的扇形面積與半徑為1的球面積的
之和，即表面積為
．
二、
13．
平方得
．
14．55 
．
15．1 
與
互為反函數(shù)，
，
．
16．
或
，設(shè)
或．
三、解答題
17．（1）
的最大值為2，
的圖象經(jīng)過點
，
，
，
．
（2）
，
．
18．（1）∵當
時，
總成等差數(shù)列，
即
，所以對
時，此式也成立
，又
，兩式相減，
得
，
成等比數(shù)列，
．
（2）由（1）得
．
19．（1）由題意知，袋中黑球的個數(shù)為
記“從袋中任意摸出2個球，得到的都是黑球”為事件，則
．
（2）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到一個白球”為事件，設(shè)袋中白球的個數(shù)為
，則
．
或
（含）．
．∴袋中白球的個數(shù)為5．
20．（1）證明：
．
連接
．
，又
即
平面
．
（2）方法1 取
的中點，的中點
，
為的中點，
或其補角是
與
所成的角，連接
是
斜邊上的中線，
，
．
在
中，由余弦定理得
，
∴直線與所成的角為
．
（方法2）如圖建立空間直角坐標系
．
則
．
．
∴直線與所成的角為．
（3）（方法l）
平面
，過
作
于
，由三垂線定理得
．
是二面角
的平面角，
，又
．
在
中，
，
．
∴二面角為
．
（方法2）
在上面的坐標系中，平面的法向量
．
設(shè)平面
的法向量
，則
，
解得
，
．
∴二面角為
．
21．（1）
的最小值為
，
，又直線
的斜率為
．
，故
．
（2）
，當變化時，
、的變化情況如下表：
0
0
ㄊ
極大
ㄋ
極小
ㄊ
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和
，
∴當
時，取得最小值
，
當
時，取得最大值18．
21．（1）設(shè)
．
由拋物線定義，
， 
．
在
上，
，又
或
舍去．
∴橢圓的方程為
．
（2）① 直線的方程為
為菱形，
，設(shè)直線的方程為
由
，得
、
在橢圓上，
解得
，設(shè)
，則
，
的中點坐標為
．
由
為菱形可知，點在直線上，
．
∴直線的方程為
即
．
② ∵為菱形，且
，
，∴菱形的面積
．
∴當
時，菱形的面積取得最大值
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