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已知函數(shù)的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結(jié)合導數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

設(shè)函數(shù)．

(Ⅰ) 當時，求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ) 若在上的最大值為，求的值．

【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域為（0，2），.

當a=1時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；

第二問中，利用當時， >0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

解：函數(shù)的定義域為（0，2），.

（1）當時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；

（2）當時， >0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

 

已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　�、�

令則

當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學方法.第一問利用導函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.

 

設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記曲線在點（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值.

【解析】第一問利用由已知，所以，

由，得， 所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； 在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

第二問中，因為，所以曲線在點處切線為：.

切線與軸的交點為，與軸的交點為，

因為，所以，  

， 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當時，有最大值，此時，

解：（Ⅰ）由已知，所以， 由，得，  所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； 

在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；  

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）因為，所以曲線在點處切線為：.

切線與軸的交點為，與軸的交點為，

因為，所以，  

， 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當時，有最大值，此時，

所以，的最大值為