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已知，設(shè)和是方程的兩個(gè)根，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).求使“P且Q”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數(shù)零點(diǎn)的運(yùn)用。由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3. 當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設(shè)x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當(dāng)a∈[1,2]時(shí)，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,8]

給出下列命題：

①a,b都為正數(shù)時(shí),不等式a+b≥2才成立。

②y=x+的最小值為2。

③y=sinx+()的最小值為2.

④當(dāng)x>0時(shí)，y=x²+16x≥2,當(dāng)x²＝16x時(shí)，即x=16,y取最小值512。

其中錯(cuò)誤的命題是           。

 給出下列命題：

①a,b都為正數(shù)時(shí),不等式a+b≥2才成立。

②y=x+的最小值為2。

③y=sinx+()的最小值為2.

④當(dāng)x>0時(shí)，y=x²+16x≥2,當(dāng)x²＝16x時(shí)，即x=16,y取最小值512。

其中錯(cuò)誤的命題是           。

上海世博會(huì)于2010年5月1日正式開幕，按規(guī)定個(gè)人參觀各場(chǎng)館需預(yù)約，即進(jìn)入園區(qū)后持門票當(dāng)天預(yù)約，且一張門票每天最多預(yù)約六個(gè)場(chǎng)館�？紤]到實(shí)際情況（排隊(duì)等待時(shí)間等），張華決定參觀甲、乙、丙、丁四個(gè)場(chǎng)館。假設(shè)甲、乙、丙、丁四個(gè)場(chǎng)館預(yù)約成功的概率分別是且它們相互獨(dú)立互不影響。

（1）求張華能成功預(yù)約甲、乙、丙、丁中兩個(gè)場(chǎng)館的概率；

（2）用表示能成功預(yù)約場(chǎng)館的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用的定義域是     

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是

第二問中，若對(duì)任意不等式恒成立，問題等價(jià)于只需研究最值即可。

解： （I）的定義域是     ．．．．．．1分

              ．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是     ．．．．．．．．4分

（II）若對(duì)任意不等式恒成立，

問題等價(jià)于，                   ．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)，

故也是最小值點(diǎn)，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

當(dāng)b<1時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)b>2時(shí)，；             ．．．．．．．．．．．．8分

問題等價(jià)于 ．．．．．．．．11分

解得b<1 或 或    即，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是