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解法一: 分別以直線為軸.軸.軸.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則【查看更多】

已知直三棱柱中, , ，是和的交點(diǎn), 若.

（1）求的長；（2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 …………… 5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ……… 9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ……………………… 3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán)) ……… 4分

·=0, h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ……… 11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

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如圖(1)一座鋼索結(jié)構(gòu)橋的立柱PC與QD的高度都是60 cm，A，C之間的距離是200 m，B，D間的距離為250 m，C，D間距離為2000 m，P點(diǎn)與A點(diǎn)間、Q點(diǎn)與B點(diǎn)間分別用直線式橋索相連結(jié)，立柱PC，QD間可以近似的看作是拋物線式鋼索PEQ相連結(jié)，E為頂點(diǎn)，與AB距離為10 m，現(xiàn)有一只江鷗從A點(diǎn)沿著鋼索AP，PEQ，QB走向B點(diǎn)，試寫出從A點(diǎn)走到B點(diǎn)江鷗距離橋面的高度與移動(dòng)的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系．

王小明同學(xué)采用先建立直角坐標(biāo)系，再求關(guān)系式的方法，他寫道：

如圖(2)，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，橋面AB所在直線為x軸，過A點(diǎn)且垂直與AB的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，C(200，0)，P(　　)，E(　　)，D(2200，0)，Q(　　)，B(2450，0)．請你先把上面沒有寫全的坐標(biāo)補(bǔ)全，然后在王小明同學(xué)已建立的直角坐標(biāo)系下完整地解決本題．

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如圖(1)一座鋼索結(jié)構(gòu)橋的立柱PC與QD的高度都是60 cm，A，C之間的距離是200 m，B，D間的距離為250 m，C，D間距離為2000 m，P點(diǎn)與A點(diǎn)間、Q點(diǎn)與B點(diǎn)間分別用直線式橋索相連結(jié)，立柱PC，QD間可以近似的看作是拋物線式鋼索PEQ相連結(jié)，E為頂點(diǎn)，與AB距離為10 m，現(xiàn)有一只江鷗從A點(diǎn)沿著鋼索AP，PEQ，QB走向B點(diǎn)，試寫出從A點(diǎn)走到B點(diǎn)江鷗距離橋面的高度與移動(dòng)的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系．

王小明同學(xué)采用先建立直角坐標(biāo)系，再求關(guān)系式的方法，他寫道：

如圖(2)，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，橋面AB所在直線為x軸，過A點(diǎn)且垂直與AB的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，C(200，0)，P(　　)，E(　　)，D(2200，0)，Q(　　)，B(2450，0)．請你先把上面沒有寫全的坐標(biāo)補(bǔ)全，然后在王小明同學(xué)已建立的直角坐標(biāo)系下完整地解決本題．