題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓
的離心率為
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（I）求橢圓
的方程；
（II）若過點(diǎn)
（2，0）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)
，設(shè)
為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)
＜
時(shí)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
第一問中，利用
第二問中，利用直線與橢圓聯(lián)系，可知得到一元二次方程中
，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。
解：（1）由題意知
已知橢圓
＝1(其中a＞b＞0)與直線x＋y＝1交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求
的值；
(2)若橢圓的離心率e滿足
≤e≤
，求橢圓長軸的取值范圍．
探究：本題涉及直線與橢圓的交點(diǎn)，對(duì)于此類問題往往聯(lián)立它們的方程消去其中的一個(gè)未知數(shù)，再利用根與系數(shù)間的關(guān)系，從而得到相應(yīng)的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，再結(jié)合題目中的其它條件將問題解決．
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