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6．已知函數(shù)在點處可導.則 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x1＜x2＜1，關于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實數(shù)解
（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內導數(shù)都存在，則在（a，b）內至少存在一點x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導性）．

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已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點處可導的函數(shù)，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xax（a＞0，a≠1，x＞0），
7f(1)
3
-
f(2)
2
=
2
3
，若數(shù)列{
n
f(n)
}（n∈N）的前n項和為Sn，則
lim
n→∞
Sn=（　�。�
A、
1
2
B、1
C、-2
D、-
3
2

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已知函數(shù)f（x）=
-x2+x，(x≤1)
lnx，(x＞1)
，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；
（Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點且x1＜1，x2＞1，若直線PQ是函數(shù)f（x）圖象的切線且P、Q都是切點，求證：3＜x2＜4；（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）的定義域為D，區(qū)間I⊆D，若函數(shù)g（x）在I上可導，對任意的x0∈I，g（x）的圖象在（x0，g（x0））處的切線為l，函數(shù)g（x）圖象上所有的點都在直線l上方或直線l上，則稱區(qū)間I為函數(shù)g（x）的“下線區(qū)間”．類比上面的定義，請你寫出函數(shù)“上線區(qū)間”的定義，并根據(jù)你所給的定義，判斷區(qū)間（-∞，
3
8
）是否是函數(shù)f（x）的“上線區(qū)間”（不必證明）．

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已知函數(shù)f（x）=數(shù)學公式，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；
（Ⅱ）設P（x1，y1），Q（x2，y2）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點且x1＜1，x2＞1，若直線PQ是函數(shù)f（x）圖象的切線且P、Q都是切點，求證：3＜x2＜4；（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）的定義域為D，區(qū)間I⊆D，若函數(shù)g（x）在I上可導，對任意的x0∈I，g（x）的圖象在（x0，g（x0））處的切線為l，函數(shù)g（x）圖象上所有的點都在直線l上方或直線l上，則稱區(qū)間I為函數(shù)g（x）的“下線區(qū)間”．類比上面的定義，請你寫出函數(shù)“上線區(qū)間”的定義，并根據(jù)你所給的定義，判斷區(qū)間（-∞，數(shù)學公式）是否是函數(shù)f（x）的“上線區(qū)間”（不必證明）．

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已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x1＜x2＜1，關于x的方程：數(shù)學公式在（x1，x2）恒有實數(shù)解
（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內導數(shù)都存在，則在（a，b）內至少存在一點x0，使得數(shù)學公式．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，數(shù)學公式（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導性）．

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