題目列表(包括答案和解析)
如圖，
是△
的重心，
、
分別是邊
、
上的動點，且、、三點共線．
（1）設(shè)
，將
用
、
、
表示；
（2）設(shè)
，
，證明：
是定值；
（3）記△與△
的面積分別為
、
．求
的取值范圍．
（提示：
【解析】第一問中利用（1）
第二問中，由（1），得
；①
另一方面，∵是△的重心，
∴
而
、
不共線，∴由①、②，得
第三問中，
由點、的定義知
，
，
且
時，
；
時，
．此時，均有
．
時，
．此時，均有
．
以下證明：
，結(jié)合作差法得到。
解：（1）
．
（2）一方面，由（1），得
；①
另一方面，∵是△的重心，
∴． ②
而、不共線，∴由①、②，得
解之，得
，∴
（定值）．
（3）
．
由點、的定義知，，
且時，；時，．此時，均有．
時，．此時，均有．
以下證明：．（法一）由（2）知
，
∵
，∴
．
∵
，∴
．
∴的取值范圍
設(shè)橢圓
的左、右頂點分別為
，點
在橢圓上且異于兩點，
為坐標原點.
（Ⅰ）若直線
與
的斜率之積為
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
，證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解：設(shè)點P的坐標為
.由題意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線OP的方程為
，設(shè)點P的坐標為.
由條件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依題意，直線OP的方程為，設(shè)點P的坐標為.
由P在橢圓上，有
因為，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
【解析】如圖：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝
，kMN＝﹣．
直線PQ為：y＝(x＋c)，兩條漸近線為：y＝
x．由
，得：Q(
，
)；由
，得：P(
，
)．∴直線MN為：y－＝﹣(x－)，
令y＝0得：xM＝
．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：
，即e＝
．
【答案】B
| k |
| x+a |
| x+b |
| x+c |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| kx |
| ax+1 |
| bx+1 |
| cx+1 |
| (c×2-bx+a) |
| x2 |
| 1 |
| x |
| b |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| b |
| (x+a) |
| (x+c) |
| (x+d) |
| bx |
| (ax-1) |
| (cx-1) |
| (dx-1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
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