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設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由P在橢圓上，有

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

甲船由島出發(fā)向北偏東的方向作勻速直線航行，速度為海里∕小時(shí)，在甲船從島出發(fā)的同時(shí)，乙船從島正南海里處的島出發(fā)，朝北偏東的方向作勻速直線航行，速度為海里∕小時(shí)。

⑴求出發(fā)小時(shí)時(shí)兩船相距多少海里？

⑴   兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相距最近？最近距離為多少海里？

【解析】第一問中根據(jù)時(shí)間得到出發(fā)小時(shí)時(shí)兩船相距的海里為

第二問設(shè)時(shí)間為t，則

利用二次函數(shù)求得最值，

解：⑴依題意有：兩船相距

答：出發(fā)3小時(shí)時(shí)兩船相距海里                           

⑵兩船出發(fā)后t小時(shí)時(shí)相距最近，即

即當(dāng)t=4時(shí)兩船最近，最近距離為海里。

 

已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列。

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

【解析】第一問中利用等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則依題意有：

第二問中，利用第一問的結(jié)論得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，

，利用裂項(xiàng)求和的思想解決即可。

 

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Π）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N+，且Sn=

∫

n 0

f(x)dx，是否存在等差數(shù)列a_n和首項(xiàng)為f（1）公比大于0的等比數(shù)列b_n，使數(shù)列a_n+b_n的前n項(xiàng)和等于S_n．