題目列表(包括答案和解析)
在數(shù)列
中，
記
（Ⅰ）求
、
、
、
并推測
；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知，
、
、
、
，猜想可得
第二問中，①當(dāng)
時，
=
，又，猜想正確
②假設(shè)當(dāng)
時猜想成立，即
，
當(dāng)
時，
=
=
，即當(dāng)時猜想也成立
兩步驟得到。
（2）①當(dāng)時，=，又，猜想正確
②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，
當(dāng)時，
=
=，即當(dāng)時猜想也成立
由①②可知，對于任何正整數(shù)
都有成立
已知命題
及其證明：
（1）當(dāng)
時，左邊＝1，右邊＝
所以等式成立；
（2）假設(shè)
時等式成立，即
成立，
則當(dāng)
時，
，所以時等式也成立。
由（1）（2）知，對任意的正整數(shù)n等式都成立。
經(jīng)判斷以上評述
A．命題、推理都正確 B命題不正確、推理正確
C．命題正確、推理不正確 D命題、推理都不正確
（1）當(dāng)
時，等式
是否成立？
呢？
（2）假設(shè)
時，等式
成立．
能否推得
時，等式也成立？
時等式成立嗎？
已知
是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，
是等比數(shù)列，且
，
.
（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；
（Ⅱ）記
，
，證明
（）.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列
的公差為d，等比數(shù)列
的公比為q.
由
，得
，
，
.
由條件，得方程組
，解得
所以
，
，
.
（2）證明：（方法一）
由（1）得
①
②
由②-①得
而
故
，
（方法二：數(shù)學(xué)歸納法）
① 當(dāng)n=1時，
，
，故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即
，則當(dāng)n=k+1時，有：
即
，因此n=k+1時等式也成立
由①和②，可知對任意，成立.
=2k+1-1，所以n=k+1時等式也成立，[ ]
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