題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
；
（1）若函數(shù)
在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍。
（2）若函數(shù)
，若在[1，e]上至少存在一個x的值使
成立，求實數(shù)的取值范圍。
【解析】第一問中，利用導(dǎo)數(shù)
，因為在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以
內(nèi)滿足
恒成立，得到結(jié)論第二問中，在[1，e]上至少存在一個x的值使
成立，等價于不等式
在[1，e]上有解，轉(zhuǎn)換為不等式有解來解答即可。
解：（1），
因為在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以 內(nèi)滿足恒成立，即
恒成立，
亦即
，
即可 又
當(dāng)且僅當(dāng)
，即x=1時取等號，
在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實數(shù)k的取值范圍是
.
（2）在[1，e]上至少存在一個x的值使成立，等價于不等式 在[1，e]上有解，設(shè)
上的增函數(shù)，
依題意需
實數(shù)k的取值范圍是
已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當(dāng)
時
單調(diào)遞減；當(dāng)
時
單調(diào)遞增，故當(dāng)
時，
取最小值
于是對一切
恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)
. �、�
令
則
當(dāng)
時，
單調(diào)遞增；當(dāng)
時，
單調(diào)遞減.
故當(dāng)
時，
取最大值
.因此，當(dāng)且僅當(dāng)
時，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當(dāng)
時，
單調(diào)遞減；當(dāng)
時，
單調(diào)遞增.故當(dāng)
，
即
從而
，
又
所以
因為函數(shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.
已知數(shù)列
的前
項和為
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通項公式；
(Ⅱ) 設(shè)
(
N*).
①證明： 
；
② 求證：
.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用
關(guān)系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到
，②由于
，
所以
利用放縮法，從此得到結(jié)論。
解：(Ⅰ)當(dāng)
時，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
從而有
，與矛盾，所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
證法二：
，下同證法一.
……10分
證法三：（利用對偶式）設(shè)
，
，
則
.又
，也即
，所以
，也即
，又因為
，所以
.即
………10分
證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)
時, 
,命題成立;
②假設(shè)
時,命題成立,即
,
則當(dāng)
時,
即
即
故當(dāng)時，命題成立.
綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
從而
.
也即
已知函數(shù)
，
（1）求函數(shù)
的定義域；
（2）求函數(shù)在區(qū)間
上的最小值；
（3）已知
，命題p：關(guān)于x的不等式
對函數(shù)的定義域上的任意
恒成立；命題q：指數(shù)函數(shù)
是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．
【解析】第一問中，利用由
即
第二問中，
，
得：
，
第三問中，由在函數(shù)的定義域上
的任意，
，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立。當(dāng)命題p為真時，
；而命題q為真時：指數(shù)函數(shù)
．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當(dāng)命題p為真，命題q為假時；當(dāng)命題p為假，命題q為真時分為兩種情況討論即可 。
解：（1）由
即
（2）
，得：
，
（3）由在函數(shù)的定義域上
的任意，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。當(dāng)命題p為真時，；而命題q為真時：指數(shù)函數(shù)．因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以
當(dāng)命題p為真，命題q為假時，
當(dāng)命題p為假，命題q為真時，
，
所以
已知函數(shù)
的最小值為0，其中
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若對任意的
有
≤
成立，求實數(shù)
的最小值；
（Ⅲ）證明
（
）.
【解析】(1)解：
的定義域為
由
，得
當(dāng)x變化時，
，的變化情況如下表：
|
x |
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
極小值 |
|
因此，在
處取得最小值，故由題意
，所以
（2）解：當(dāng)
時，取
，有
，故時不合題意.當(dāng)
時，令
，即
令
，得
①當(dāng)
時，
，
在
上恒成立。因此
在
上單調(diào)遞減.從而對于任意的
，總有
，即
在上恒成立，故符合題意.
②當(dāng)
時，
，對于
，
，故在
上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時，
，即
不成立.
故不合題意.
綜上，k的最小值為
.
（3）證明：當(dāng)n=1時，不等式左邊=
=右邊，所以不等式成立.
當(dāng)
時，
在（2）中取
，得
，
從而
所以有
綜上，
，
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